Номер 4, страница 22 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Пространственные фигуры. Начальные представления о многогранниках. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 4, страница 22.

Условие.

Рис. 3.23

3.4. Точка $M$ принадлежит грани $ASC$ тетраэдра $SABC$, точка $D$ – ребру $BC$ (рис. 3.23).

Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через прямую $SD$ и точку $M$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

3.4.

Чтобы построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через прямую $SD$ и точку $M$, необходимо найти линии пересечения этой плоскости с гранями тетраэдра. Назовем секущую плоскость $\alpha$.

Построение:

1. Точки $S$ и $D$ принадлежат секущей плоскости $\alpha$ по условию. Так как точка $S$ является вершиной тетраэдра, а точка $D$ лежит на ребре $BC$, то обе точки принадлежат грани $SBC$. Следовательно, отрезок $SD$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $SBC$.
2. Точки $S$ и $M$ принадлежат секущей плоскости $\alpha$. По условию, точка $M$ лежит в грани $ASC$, точка $S$ также принадлежит этой грани. Следовательно, прямая $SM$ целиком лежит как в секущей плоскости $\alpha$, так и в плоскости грани $ASC$.
3. Найдем линию пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $ASC$. Для этого найдем точку пересечения прямой $SM$ с ребром $AC$ (прямые $SM$ и $AC$ лежат в одной плоскости $ASC$ и, в общем случае, пересекаются). Проведем прямую через точки $S$ и $M$ и продлим ее до пересечения с прямой $AC$. Обозначим точку пересечения буквой $E$.
4. Теперь у нас есть две точки, принадлежащие сечению и грани $ASC$: $S$ и $E$. Отрезок $SE$ — это линия пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $ASC$.
5. Точки $E$ и $D$ принадлежат секущей плоскости $\alpha$. Точка $E$ лежит на ребре $AC$, а точка $D$ — на ребре $BC$. Обе эти точки лежат в плоскости основания $ABC$. Следовательно, отрезок $ED$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $ABC$.
6. Соединив точки $S$, $E$ и $D$, получим треугольник $SED$, который является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — треугольник $SED$, где $E$ — точка пересечения прямой $SM$ с ребром $AC$.

3.5.

Требуется построить точку пересечения прямой $MK$ с плоскостью основания $ABC$. Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости можно использовать метод вспомогательных плоскостей.

Построение:

1. Выберем вспомогательную плоскость, содержащую прямую $MK$. Точка $M$ лежит на ребре $SA$, а точка $K$ — на ребре $SB$. Оба ребра $SA$ и $SB$ образуют боковую грань $SAB$. Следовательно, прямая $MK$ полностью лежит в плоскости грани $SAB$. Примем плоскость $(SAB)$ в качестве вспомогательной.
2. Найдем линию пересечения вспомогательной плоскости $(SAB)$ и плоскости основания $(ABC)$. Эти две плоскости имеют две общие точки — $A$ и $B$. Следовательно, они пересекаются по прямой $AB$.
3. Искомая точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью $(ABC)$ должна лежать на прямой $MK$. Также, поскольку прямая $MK$ лежит во вспомогательной плоскости $(SAB)$, искомая точка должна лежать и в плоскости $(SAB)$. Таким образом, точка пересечения должна принадлежать одновременно плоскостям $(SAB)$ и $(ABC)$, то есть лежать на линии их пересечения — прямой $AB$.
4. Итак, искомая точка является точкой пересечения прямых $MK$ и $AB$. Обе эти прямые лежат в одной плоскости $(SAB)$, поэтому они пересекаются (если не параллельны). Для построения нужно продлить отрезки $MK$ и $AB$ до их пересечения. Обозначим эту точку $P$.

Ответ: Искомая точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$ — это точка $P$, полученная в результате пересечения прямых $MK$ и $AB$ ($P = MK \cap AB$).