Номер 5, страница 22 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Пространственные фигуры. Начальные представления о многогранниках. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 5, страница 22.

Условие.

3.5. На боковых рёбрах $SA$ и $SB$ пирамиды $SABCD$ отметили соответственно точки $M$ и $K$. Постройте точку пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы построить точку пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$, необходимо найти точку, которая одновременно принадлежит и прямой, и плоскости. Воспользуемся методом вспомогательных плоскостей.

1. Прямая $MK$ лежит в плоскости боковой грани $SAB$, так как ее точки $M$ и $K$ по условию принадлежат боковым ребрам $SA$ и $SB$ этой грани ($M \in SA$, $K \in SB$). Назовем эту плоскость $(SAB)$ вспомогательной.

2. Искомая точка пересечения прямой $MK$ и плоскости $ABC$ должна лежать на прямой $MK$ и, следовательно, в плоскости $(SAB)$. Также эта точка по определению должна лежать в плоскости $ABC$. Значит, искомая точка принадлежит линии пересечения плоскостей $(SAB)$ и $(ABC)$.

3. Линией пересечения плоскости боковой грани $(SAB)$ и плоскости основания $(ABC)$ является прямая $AB$, так как точки $A$ и $B$ принадлежат обеим этим плоскостям.

4. Таким образом, искомая точка является точкой пересечения двух прямых: $MK$ и $AB$. Обе эти прямые лежат в одной плоскости $(SAB)$, поэтому для нахождения их общей точки достаточно продлить отрезки $MK$ и $AB$ до их пересечения (в общем случае, когда они не параллельны). Обозначим полученную точку как $P$.

Точка $P$ является искомой, так как она одновременно принадлежит прямой $MK$ и прямой $AB$, а значит, и плоскости $ABC$.

Ответ: Искомая точка — это точка пересечения прямой $MK$ и прямой $AB$. Для ее построения необходимо в плоскости $(SAB)$ продлить отрезки $MK$ и $AB$ до их пересечения.