Номер 12, страница 22 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Пространственные фигуры. Начальные представления о многогранниках. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 12, страница 22.

Условие.

3.12. Точка $M$ принадлежит грани $ASB$ тетраэдра $SABC$, точка $K$ – грани $BSC$ (рис. 3.27). Постройте точку пересечения прямой $MK$ с плоскостью $ABC$.

Рис. 3.27

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения точки пересечения прямой $MK$ с плоскостью $(ABC)$ используется метод следов. Суть метода заключается в построении вспомогательной плоскости, содержащей прямую $MK$, и нахождении её следа (линии пересечения) с плоскостью $(ABC)$. Искомая точка будет лежать на пересечении прямой $MK$ и этого следа.

Построение и обоснование

1. В качестве вспомогательной плоскости выберем плоскость, проходящую через прямую $MK$ и вершину тетраэдра $S$. Обозначим эту плоскость $\sigma = (SMK)$.
2. Найдём след плоскости $\sigma$ на плоскости $(ABC)$. Для этого достаточно найти две точки, принадлежащие обеим плоскостям.
3. Точка $M$ лежит в плоскости грани $(ASB)$. Проведём прямую через точки $S$ и $M$. Эта прямая $SM$ также лежит в плоскости $(ASB)$. Найдём точку пересечения прямой $SM$ с прямой $AB$, которая также принадлежит плоскости $(ASB)$. Обозначим эту точку $M_1$. Таким образом, $M_1 = SM \cap AB$. Точка $M_1$ лежит на прямой $AB$, следовательно, она принадлежит плоскости $(ABC)$. Также точка $M_1$ лежит на прямой $SM$, а значит, принадлежит и вспомогательной плоскости $\sigma$.
4. Аналогично, точка $K$ лежит в плоскости грани $(BSC)$. Проведём прямую $SK$, которая лежит в плоскости $(BSC)$. Найдём точку пересечения прямой $SK$ с прямой $BC$. Обозначим эту точку $K_1$. Таким образом, $K_1 = SK \cap BC$. Точка $K_1$ лежит на прямой $BC$, следовательно, она принадлежит плоскости $(ABC)$. Также точка $K_1$ лежит на прямой $SK$ и принадлежит вспомогательной плоскости $\sigma$.
5. Мы нашли две точки $M_1$ и $K_1$, принадлежащие одновременно плоскости $(ABC)$ и вспомогательной плоскости $\sigma$. Прямая $M_1K_1$, проходящая через эти точки, является линией пересечения (следом) плоскости $\sigma$ с плоскостью $(ABC)$.
6. Искомая точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью $(ABC)$ по определению должна лежать на прямой $MK$ и в плоскости $(ABC)$. Из предыдущего шага следует, что все общие точки плоскости $\sigma$ (которой принадлежит прямая $MK$) и плоскости $(ABC)$ лежат на прямой $M_1K_1$. Следовательно, искомая точка является пересечением прямых $MK$ и $M_1K_1$.
7. Построим прямые $MK$ и $M_1K_1$. Так как обе прямые лежат в одной плоскости $\sigma$, они пересекутся в некоторой точке $P$ (если не параллельны). Эта точка $P$ и есть искомая точка пересечения.

Ответ: Искомая точка $P$ — это точка пересечения прямой $MK$ и прямой $M_1K_1$, где $M_1$ — точка пересечения прямых $SM$ и $AB$, а $K_1$ — точка пересечения прямых $SK$ и $BC$.