Номер 19, страница 24 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Пространственные фигуры. Начальные представления о многогранниках. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 19, страница 24.

Условие.

3.19. На рёбрах $AB$, $AD$ и $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечены соответственно точки $E$, $F$ и $M$ (рис. 3.33). Постройте сечение куба плоскостью $EFM$.

Рис. 3.33

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения сечения куба плоскостью, проходящей через точки E, F и M, будем использовать метод следов в сочетании со свойством параллельности граней куба.

1. Построение линии пересечения с гранью основания
Точки E и F лежат на рёбрах AB и AD соответственно, которые принадлежат плоскости нижнего основания (ABCD). Следовательно, точки E и F лежат в одной плоскости. Соединяем эти точки отрезком EF. Этот отрезок является частью искомого сечения и представляет собой линию пересечения секущей плоскости EFM с гранью ABCD.

2. Построение следа секущей плоскости на плоскости боковой грани
Чтобы найти точки пересечения секущей плоскости с другими рёбрами, найдём след (линию пересечения) секущей плоскости с плоскостью одной из боковых граней, например, BCC₁B₁. Для этого в плоскости основания ABCD продлим прямую EF и прямую BC до их пересечения. Обозначим эту точку P. Так как обе прямые лежат в одной плоскости и непараллельны (в общем случае), они пересекутся: $P = EF \cap BC$. Точка P принадлежит секущей плоскости (так как лежит на прямой EF) и плоскости грани BCC₁B₁ (так как лежит на прямой BC).

3. Нахождение новых вершин сечения
Точка M по условию также принадлежит секущей плоскости и плоскости грани BCC₁B₁. Следовательно, прямая, проходящая через точки M и P, является следом секущей плоскости на плоскости грани BCC₁B₁. Эта прямая пересекает рёбра грани BCC₁B₁. Найдём точку её пересечения с ребром BB₁, обозначив её Q. Таким образом, $Q = MP \cap BB_1$. Отрезок MQ — это сторона сечения, лежащая на грани BCC₁B₁. Теперь точки Q и E лежат в одной плоскости передней грани ABB₁A₁. Соединяем их отрезком QE, получая ещё одну сторону сечения.

4. Использование свойства параллельности граней для нахождения следующей вершины
Противоположные грани куба параллельны, в частности, грань ADD₁A₁ параллельна грани BCC₁B₁. Секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым. Линия пересечения с гранью BCC₁B₁ — это прямая MQ. Значит, линия пересечения с гранью ADD₁A₁ должна быть прямой, проходящей через точку F (лежащую в этой грани) и параллельной прямой MQ. Проведём в плоскости грани ADD₁A₁ через точку F прямую, параллельную MQ. Эта прямая пересечёт ребро DD₁ в точке, которую обозначим S. Отрезок FS — сторона сечения на грани ADD₁A₁.

5. Завершение построения сечения
На данном этапе мы имеем пять вершин сечения: E, F, S, M, Q, лежащих на рёбрах куба. Соединим последовательно точки, лежащие на одних и тех же гранях. Мы уже построили отрезки EF, EQ, QM, FS. Осталось соединить точки S и M. Они лежат на рёбрах DD₁ и CC₁ соответственно, то есть принадлежат задней грани DCC₁D₁. Соединяем их отрезком SM. В результате получаем замкнутый многоугольник — пятиугольник EFSMQ. Этот пятиугольник и является искомым сечением куба.

Ответ: Искомое сечение куба плоскостью EFM представляет собой пятиугольник EFSMQ, вершины которого строятся последовательно: 1. Проводится отрезок EF. 2. Находится точка $Q$ на ребре $BB_1$ как пересечение этого ребра с прямой $MP$, где $P = EF \cap BC$. 3. Находится точка $S$ на ребре $DD_1$ построением через точку $F$ прямой, параллельной $MQ$. 4. Вершины пятиугольника E, F, S, M, Q последовательно соединяются отрезками, образуя искомое сечение.