Номер 21, страница 24 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Пространственные фигуры. Начальные представления о многогранниках. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 21, страница 24.

Условие.

3.21. На рёбрах $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечены соответственно точки $E$, $F$ и $K$ (рис. 3.35). Постройте сечение куба плоскостью $EFK$.

Рис. 3.33

Рис. 3.34

Рис. 3.35

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения сечения куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $EFK$ выполним следующие шаги:

1. Построение следов сечения на смежных гранях.

   Точки $E$ и $F$ лежат в плоскости одной грани — боковой грани $BCC_1B_1$. Следовательно, отрезок $EF$ является линией пересечения секущей плоскости с этой гранью и одной из сторон искомого сечения.

   Аналогично, точки $F$ и $K$ лежат в плоскости боковой грани $CDD_1C_1$. Соединив их, получаем отрезок $FK$ — еще одну сторону сечения.

2. Использование свойства параллельности граней куба.

   Противоположные грани куба параллельны. В частности, грань $ADD_1A_1$ параллельна грани $BCC_1B_1$. Согласно свойству, если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны.

   Это означает, что линия пересечения секущей плоскости $(EFK)$ с гранью $ADD_1A_1$ должна быть параллельна линии ее пересечения с гранью $BCC_1B_1$, то есть прямой $EF$.

3. Построение четвертой вершины и завершение сечения.

   Проведем в плоскости грани $ADD_1A_1$ через точку $K$ прямую, параллельную прямой $EF$. Точка пересечения этой прямой с ребром $AA_1$ является четвертой вершиной сечения. Обозначим эту точку $L$. Отрезок $KL$ — третья сторона сечения.

   Теперь у нас есть четыре вершины сечения: $E, F, K, L$. Точки $L$ и $E$ принадлежат одной грани $ABB_1A_1$. Соединяем их отрезком $LE$, который является четвертой и последней стороной сечения.

В результате построен четырехугольник $EFKL$, который и является искомым сечением куба плоскостью $EFK$.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $EFKL$, где точка $L$ является точкой пересечения ребра $AA_1$ с прямой, проведенной в плоскости грани $ADD_1A_1$ через точку $K$ параллельно прямой $EF$.