Номер 26, страница 25 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Пространственные фигуры. Начальные представления о многогранниках. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 26, страница 25.

Условие.

3.26. Дана пирамида $MABCD$ (рис. 3.40). На боковых рёбрах $MB$ и $MC$ отметили соответственно точки $E$ и $F$, а на продолжении ребра $MA$ за точку $A$ – точку $K$. Постройте сечение пирамиды плоскостью $EFK$.

Рис. 3.40

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения сечения пирамиды $MABCD$ плоскостью $(EFK)$ необходимо найти линии пересечения секущей плоскости с гранями пирамиды. Эти линии в совокупности образуют многоугольник, который и является искомым сечением.

Построение сечения выполняется в несколько шагов:

1. Построение сторон сечения в гранях MAB и MBC

Точки $E$ и $F$ по условию лежат на ребрах $MB$ и $MC$ соответственно. Так как оба ребра принадлежат грани $(MBC)$, то отрезок $EF$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $(MBC)$ и, следовательно, стороной искомого сечения.

Точки $E$ и $K$ лежат в плоскости грани $(MAB)$ (точка $E$ лежит на ребре $MB$, а точка $K$ — на продолжении ребра $MA$). Прямая $EK$ является линией пересечения секущей плоскости $(EFK)$ с плоскостью грани $(MAB)$. Найдем точку пересечения прямой $EK$ с ребром основания $AB$. Обозначим эту точку как $P$. Таким образом, $P = EK \cap AB$. Точка $P$ является вершиной сечения, а отрезок $EP$ — стороной сечения, лежащей в грани $(MAB)$.

2. Построение следа секущей плоскости на плоскости основания ABCD

След плоскости — это прямая, по которой она пересекается с другой плоскостью. Нам нужно найти след секущей плоскости $(EFK)$ на плоскости основания $(ABCD)$. Для построения прямой необходимо найти две точки, принадлежащие ей.

Одна такая точка уже найдена — это точка $P$, так как она лежит на ребре $AB$, которое принадлежит плоскости основания. $P \in (EFK)$ и $P \in (ABCD)$.

Для нахождения второй точки найдем пересечение прямой $EF$ (лежащей в секущей плоскости) с плоскостью основания. Прямая $EF$ лежит в плоскости грани $(MBC)$. Плоскость $(MBC)$ пересекает плоскость основания $(ABCD)$ по прямой $BC$. Следовательно, точка пересечения прямой $EF$ с плоскостью основания будет лежать на прямой $BC$. Продлим отрезки $EF$ и $BC$ до их пересечения в точке $X$. Точка $X$ является второй точкой следа, так как $X \in EF \subset (EFK)$ и $X \in BC \subset (ABCD)$.

Прямая $PX$ является следом секущей плоскости на плоскости основания.

3. Завершение построения сечения

След $PX$ лежит в плоскости основания. Найдем точки пересечения этого следа с ребрами четырехугольника $ABCD$. Одна точка, $P$, лежит на $AB$. Проведем прямую $PX$ и найдем ее точку пересечения с ребром $CD$. Обозначим эту точку $R$. Точка $R$ является еще одной вершиной сечения. Отрезок $PR$ — это сторона сечения, лежащая на основании пирамиды.

Теперь у нас есть вершины $P, E, F, R$. Соединим точки $F$ и $R$. Обе эти точки лежат в плоскости грани $(MCD)$ (поскольку $F \in MC$ и $R \in CD$). Следовательно, отрезок $FR$ является стороной сечения, лежащей в грани $(MCD)$.

В результате мы получили замкнутый четырехугольник $PEFR$, все вершины которого лежат на ребрах пирамиды, а стороны — на ее гранях. Этот четырехугольник и есть искомое сечение.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $PEFR$, где точка $P$ — это пересечение прямой $EK$ с ребром $AB$, а точка $R$ — это пересечение ребра $CD$ со следом секущей плоскости на основании (прямой, проходящей через точку $P$ и точку пересечения прямых $EF$ и $BC$).