Номер 27, страница 25 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Пространственные фигуры. Начальные представления о многогранниках. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 27, страница 25.

Условие.

3.27. На ребре $CC_1$ призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечена точка $E$ (рис. 3.41). Постройте сечение призмы плоскостью $BA_1E$.

Рис. 3.39
Рис. 3.40
Рис. 3.41

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения сечения призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через точки $B$, $A_1$ и $E$, необходимо последовательно найти линии пересечения секущей плоскости с гранями призмы. Построение выполняется в несколько шагов:

1. Построение отрезков сечения на известных гранях. Точки $B$ и $A_1$ принадлежат плоскости грани $ABB_1A_1$, поэтому отрезок $BA_1$ является стороной искомого сечения. Аналогично, точки $B$ и $E$ принадлежат плоскости грани $BCC_1B_1$, поэтому отрезок $BE$ также является стороной сечения.
2. Нахождение следа секущей плоскости на плоскости верхнего основания. Для дальнейшего построения воспользуемся методом следов. Найдем линию пересечения (след) секущей плоскости $(BA_1E)$ с плоскостью верхнего основания $(A_1B_1C_1D_1)$. Одна точка, принадлежащая этой линии, уже известна — это точка $A_1$. Чтобы найти вторую точку, продлим прямую $BE$, лежащую в секущей плоскости, и прямую $B_1C_1$, лежащую в плоскости верхнего основания, до их пересечения. Так как обе прямые лежат в одной плоскости $(BCC_1B_1)$, они пересекутся. Обозначим точку их пересечения $F$. Эта точка принадлежит и секущей плоскости, и плоскости верхнего основания.
3. Построение стороны сечения на верхней грани. Прямая, проходящая через точки $A_1$ и $F$, является следом секущей плоскости на плоскости верхнего основания. Находим точку пересечения этой прямой с ребром $C_1D_1$ и обозначаем ее $G$. Отрезок $A_1G$ — третья сторона искомого сечения, лежащая на верхней грани призмы.
4. Завершение построения. Мы получили новую вершину сечения — точку $G$ на ребре $C_1D_1$. Соединяем ее с точкой $E$ на ребре $CC_1$. Обе точки лежат в плоскости грани $DCC_1D_1$, поэтому отрезок $GE$ является четвертой и последней стороной сечения. В результате последовательного соединения точек получается четырехугольник $BA_1GE$.

Ответ: Искомым сечением является четырехугольник $BA_1GE$.