Номер 32, страница 26 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Пространственные фигуры. Начальные представления о многогранниках. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 32, страница 26.

Условие.

3.32. Через точку пересечения медиан треугольника $ABC$ параллельно стороне $AC$ проведена прямая, пересекающая стороны $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите отношение площади треугольника $EBF$ к площади треугольника $ABC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $M$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$ (центроид). Проведем медиану $BK$ из вершины $B$ к стороне $AC$. Точка $M$ лежит на этой медиане.

По свойству медиан треугольника, точка их пересечения делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, для медианы $BK$ выполняется соотношение: $ \frac{BM}{MK} = \frac{2}{1} $

Найдем отношение длины отрезка $BM$ к длине всей медианы $BK$: $ BK = BM + MK $. Поскольку $MK = \frac{1}{2}BM$, то $BK = BM + \frac{1}{2}BM = \frac{3}{2}BM$. Отсюда получаем отношение: $ \frac{BM}{BK} = \frac{BM}{\frac{3}{2}BM} = \frac{2}{3} $

По условию задачи, через точку $M$ проведена прямая, параллельная стороне $AC$, которая пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Таким образом, $EF \parallel AC$.

Рассмотрим треугольники $EBF$ и $ABC$:

• Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников.
• Так как $EF \parallel AC$, то углы $\angle BEF$ и $\angle BAC$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $EF$ и $AC$ и секущей $AB$.

Следовательно, треугольник $EBF$ подобен треугольнику $ABC$ по двум углам ($\triangle EBF \sim \triangle ABC$).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$: $ \frac{S_{EBF}}{S_{ABC}} = k^2 $ Коэффициент подобия равен отношению соответственных сторон: $k = \frac{BE}{BA}$.

Рассмотрим угол $ABK$ и параллельные прямые $EM$ и $AK$ (поскольку $E, M, F$ лежат на одной прямой, а $A, K, C$ — на другой, и $EF \parallel AC$). По теореме о пропорциональных отрезках (обобщенная теорема Фалеса), имеем: $ \frac{BE}{BA} = \frac{BM}{BK} $

Мы уже установили, что $\frac{BM}{BK} = \frac{2}{3}$. Значит, коэффициент подобия $k = \frac{2}{3}$.

Теперь можем найти искомое отношение площадей: $ \frac{S_{EBF}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} $

Ответ: $4/9$.