Номер 4, страница 30 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Метод сечений. Глава 1. Введение в стериометрию - номер 4, страница 30.

Условие.

4. На рёбрах $AB$ и $AA_1$ четырёхугольной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили соответственно точки $X$ и $Y$ так, что $AX = 2XB$. Постройте сечение призмы плоскостью $XYC_1$. В каком отношении точка $Y$ делит ребро $AA_1$, если плоскость $XYC_1$ пересекает ребро $A_1D_1$ в его середине?

Решение 1.

Решение 3.

В задаче рассматривается четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В задачах такого типа, если не указано иное, под четырёхугольной призмой обычно понимают параллелепипед, то есть призму, в основании которой лежит параллелограмм. Будем исходить из этого предположения.

Постройте сечение призмы плоскостью $XYC_1$.

Сечение строится по трём точкам $X$, $Y$ и $C_1$, которые определяют секущую плоскость $\alpha = (XYC_1)$. По условию, точка $X$ лежит на ребре $AB$, точка $Y$ — на ребре $AA_1$. Также дано, что плоскость $(XYC_1)$ пересекает ребро $A_1D_1$ в его середине. Обозначим эту точку как $M$.

Построение сечения выполним пошагово:

1. Соединим точки, лежащие в одной грани.
   • Точки $X$ и $Y$ лежат в грани $ABB_1A_1$. Проводим отрезок $XY$.
   • Точки $Y$ и $M$ лежат в грани $ADD_1A_1$. Проводим отрезок $YM$.
   • Точки $M$ и $C_1$ лежат в грани $A_1B_1C_1D_1$. Проводим отрезок $MC_1$.
   Отрезки $XY$, $YM$ и $MC_1$ являются сторонами искомого сечения.
2. Для нахождения остальных сторон сечения воспользуемся методом следов. Найдём след секущей плоскости на плоскости нижнего основания $ABCD$.
   • Прямая $YM$ лежит в секущей плоскости, а также в плоскости грани $ADD_1A_1$. Прямая $AD$ лежит в плоскости основания, а также в плоскости грани $ADD_1A_1$. Так как эти прямые лежат в одной плоскости $(ADD_1A_1)$ и не параллельны (поскольку $Y$ не лежит на $DD_1$), они пересекаются. Продлим отрезки $YM$ и $AD$ до их пересечения в точке $Q$. Точка $Q$ принадлежит секущей плоскости и плоскости основания.
   • Точка $X$ также принадлежит секущей плоскости и плоскости основания.
   • Следовательно, прямая $QX$ является следом секущей плоскости на плоскости основания $ABCD$.
3. Найдём точки пересечения следа $QX$ с рёбрами нижнего основания.
   • Прямая $QX$ пересекает ребро $BC$. Обозначим точку пересечения как $Z$. Отрезок $XZ$ является стороной сечения, лежащей на грани $ABCD$.
4. Соединим полученные точки.
   • Точка $Z$ лежит на ребре $BC$, а точка $C_1$ — вершина. Обе точки принадлежат грани $BCC_1B_1$. Соединяем их и получаем отрезок $ZC_1$, который является последней стороной сечения.

Таким образом, искомое сечение — это пятиугольник $YXZC_1M$.

Ответ: Сечением является пятиугольник $YXZC_1M$, построенный согласно описанному алгоритму.

В каком отношении точка Y делит ребро $AA_1$, если плоскость $XYC_1$ пересекает ребро $A_1D_1$ в его середине?

Для решения этой задачи воспользуемся векторным методом. Введём систему координат с началом в точке $A$ и базисными векторами, направленными вдоль рёбер призмы: $\vec{b} = \vec{AB}$, $\vec{d} = \vec{AD}$ и $\vec{a} = \vec{AA_1}$.

Выразим координаты данных точек в этом базисе:

• $A$ — начало координат, $\vec{r}_A = \vec{0}$.
• Точка $X$ делит ребро $AB$ так, что $AX = 2XB$. Это означает, что $AX = \frac{2}{3}AB$. Тогда $\vec{AX} = \frac{2}{3}\vec{b}$.
• Точка $Y$ делит ребро $AA_1$ в некотором отношении. Обозначим $AY/AA_1 = k$. Тогда $\vec{AY} = k\vec{a}$. Мы ищем отношение $AY/YA_1 = k/(1-k)$.
• $C_1$ — вершина призмы (параллелепипеда). Её радиус-вектор: $\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{b} + \vec{d} + \vec{a}$.
• $M$ — середина ребра $A_1D_1$. Радиус-векторы вершин $A_1$ и $D_1$: $\vec{AA_1} = \vec{a}$ и $\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{d} + \vec{a}$. Тогда радиус-вектор точки $M$:
  $\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AA_1} + \vec{AD_1}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + (\vec{d}+\vec{a})) = \frac{1}{2}\vec{d} + \vec{a}$.

Точки $X, Y, C_1, M$ лежат в одной плоскости. Это означает, что векторы $\vec{YX}$, $\vec{YC_1}$ и $\vec{YM}$ компланарны (линейно зависимы).

Найдём эти векторы:

• $\vec{YX} = \vec{AX} - \vec{AY} = \frac{2}{3}\vec{b} - k\vec{a}$
• $\vec{YC_1} = \vec{AC_1} - \vec{AY} = (\vec{b} + \vec{d} + \vec{a}) - k\vec{a} = \vec{b} + \vec{d} + (1-k)\vec{a}$
• $\vec{YM} = \vec{AM} - \vec{AY} = (\frac{1}{2}\vec{d} + \vec{a}) - k\vec{a} = \frac{1}{2}\vec{d} + (1-k)\vec{a}$

Условие компланарности означает, что один из векторов можно выразить как линейную комбинацию двух других. Например, существуют такие числа $\alpha$ и $\beta$, что $\vec{YM} = \alpha \vec{YX} + \beta \vec{YC_1}$.

Подставим выражения для векторов:
$\frac{1}{2}\vec{d} + (1-k)\vec{a} = \alpha (\frac{2}{3}\vec{b} - k\vec{a}) + \beta (\vec{b} + \vec{d} + (1-k)\vec{a})$

Сгруппируем члены при базисных векторах:
$\frac{1}{2}\vec{d} + (1-k)\vec{a} = (\frac{2}{3}\alpha + \beta)\vec{b} + \beta\vec{d} + (-\alpha k + \beta(1-k))\vec{a}$

Поскольку векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{d}$ не компланарны (линейно независимы), мы можем приравнять коэффициенты при них в левой и правой частях уравнения:
$\begin{cases} \frac{2}{3}\alpha + \beta = 0 & \text{(коэффициент при } \vec{b}\text{)} \\ \beta = \frac{1}{2} & \text{(коэффициент при } \vec{d}\text{)} \\ -\alpha k + \beta(1-k) = 1-k & \text{(коэффициент при } \vec{a}\text{)} \end{cases}$

Решим эту систему уравнений.
Из второго уравнения сразу получаем $\beta = \frac{1}{2}$.
Подставим $\beta$ в первое уравнение: $\frac{2}{3}\alpha + \frac{1}{2} = 0 \implies \frac{2}{3}\alpha = -\frac{1}{2} \implies \alpha = -\frac{3}{4}$.
Теперь подставим найденные $\alpha$ и $\beta$ в третье уравнение:
$-(-\frac{3}{4})k + \frac{1}{2}(1-k) = 1-k$
$\frac{3}{4}k + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}k = 1-k$
Приведём подобные члены с $k$:
$(\frac{3}{4} - \frac{1}{2} + 1)k = 1 - \frac{1}{2}$
$(\frac{3}{4} - \frac{2}{4} + \frac{4}{4})k = \frac{1}{2}$
$\frac{5}{4}k = \frac{1}{2}$
$k = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2}{5}$.

Мы нашли, что $AY/AA_1 = k = 2/5$. Значит, $AY = \frac{2}{5}AA_1$.
Тогда другая часть ребра $YA_1 = AA_1 - AY = AA_1 - \frac{2}{5}AA_1 = \frac{3}{5}AA_1$.
Искомое отношение:
$\frac{AY}{YA_1} = \frac{\frac{2}{5}AA_1}{\frac{3}{5}AA_1} = \frac{2}{3}$.

Ответ: Точка $Y$ делит ребро $AA_1$ в отношении $AY:YA_1 = 2:3$.