Номер 5, страница 37 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 5, страница 37.

Условие.

5. Сформулируйте теорему о плоскости, которую задают две параллельные прямые.

Решение 1.

Решение 3.

Теорема о плоскости, которую задают две параллельные прямые:

Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Это утверждение состоит из двух частей: существования такой плоскости и ее единственности. Докажем обе части.

Доказательство:

Пусть нам даны две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$).

1. Существование плоскости.

По определению, две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Само это определение уже утверждает, что существует как минимум одна плоскость, в которой лежат обе прямые $a$ и $b$.

Можно также доказать существование конструктивно:
Возьмем на прямой $a$ произвольную точку $M_1$, а на прямой $b$ — произвольную точку $M_2$. Через эти точки можно провести прямую $c$. Прямые $a$ и $c$ пересекаются в точке $M_1$. Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость (согласно соответствующей теореме). Обозначим эту плоскость $\alpha$. Таким образом, прямая $a$ и точка $M_2$ лежат в плоскости $\alpha$.
Прямая $b$ проходит через точку $M_2 \in \alpha$ и параллельна прямой $a \in \alpha$. Если бы прямая $b$ пересекала плоскость $\alpha$, то по свойству параллельных прямых она должна была бы пересечь и прямую $a$, что противоречит условию $a \parallel b$. Следовательно, прямая $b$ также целиком лежит в плоскости $\alpha$.
Таким образом, существование плоскости, проходящей через две параллельные прямые, доказано.

2. Единственность плоскости.

Допустим, что через параллельные прямые $a$ и $b$ проходит не одна, а две различные плоскости: $\alpha$ и $\beta$.

Выберем на прямой $a$ какую-нибудь точку $A$. На прямой $b$ выберем две различные точки — $B$ и $C$.

Так как прямые $a$ и $b$ параллельны, то точка $A$ не лежит на прямой $b$. Следовательно, точки $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой.

По нашему предположению, обе плоскости, $\alpha$ и $\beta$, проходят через прямые $a$ и $b$. Значит, обе плоскости проходят через точки $A$, $B$ и $C$.

Согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Отсюда следует, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ должны совпадать. Это противоречит нашему первоначальному допущению, что они различны.

Следовательно, наше допущение было неверным, и через две параллельные прямые может проходить только одна плоскость.

Таким образом, теорема полностью доказана.

Ответ: Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.