Номер 4, страница 37 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 4, страница 37.

Условие.

4.4. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 4.13). Укажите взаимное расположение прямых:

1) $BC$ и $A_1C$

2) $AB$ и $C_1D_1$

3) $BD$ и $CC_1$

4) $AB_1$ и $DC_1$

5) $DC_1$ и $BB_1$

6) $AA_1$ и $CC_1$

Рис. 4.11

Рис. 4.12

Рис. 4.13

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для определения взаимного расположения прямых в прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ воспользуемся определениями пересекающихся, параллельных и скрещивающихся прямых в пространстве.

1) $BC$ и $A_1C$

Прямые $BC$ и $A_1C$ имеют одну общую точку $C$. По определению, две прямые в пространстве, имеющие ровно одну общую точку, называются пересекающимися. Эти прямые лежат в плоскости сечения $A_1BC$.
Ответ: пересекающиеся.

2) $AB$ и $C_1D_1$

В прямоугольном параллелепипеде основания являются прямоугольниками, а боковые ребра перпендикулярны основаниям. Ребро $AB$ лежит в плоскости нижнего основания, а ребро $C_1D_1$ — в плоскости верхнего основания. Основания $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ параллельны. Также, $AB \parallel DC$ и $DC \parallel D_1C_1$. По свойству транзитивности, $AB \parallel D_1C_1$. Параллельные прямые лежат в одной плоскости (в данном случае, в плоскости диагонального сечения $ABC_1D_1$).
Ответ: параллельные.

3) $BD$ и $CC_1$

Прямая $BD$ является диагональю нижнего основания и целиком лежит в плоскости $ABCD$. Прямая $CC_1$ является боковым ребром, она перпендикулярна плоскости $ABCD$ и пересекает ее в точке $C$, которая не лежит на прямой $BD$. Таким образом, эти прямые не имеют общих точек, то есть не пересекаются. Они также не лежат в одной плоскости. Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.
Ответ: скрещивающиеся.

4) $AB_1$ и $DC_1$

Рассмотрим четырехугольник $AB_1C_1D$. В прямоугольном параллелепипеде ребра $AD$ и $B_1C_1$ параллельны и равны. Следовательно, четырехугольник $AB_1C_1D$ является параллелограммом (по признаку параллелограмма: две стороны параллельны и равны). Прямые $AB_1$ и $DC_1$ являются противоположными сторонами этого параллелограмма, а значит, они параллельны.
Ответ: параллельные.

5) $DC_1$ и $BB_1$

Прямая $BB_1$ параллельна прямой $CC_1$, так как они являются боковыми ребрами. Прямая $CC_1$ лежит в плоскости задней грани $DCC_1D_1$. Следовательно, прямая $BB_1$ параллельна плоскости $DCC_1D_1$. Прямая $DC_1$ лежит в этой плоскости. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая параллельна этой плоскости, но не лежит в ней, то эти прямые скрещиваются. Направления прямых $BB_1$ (вертикальное ребро) и $DC_1$ (диагональ боковой грани) не совпадают, значит они не параллельны. Следовательно, они скрещиваются.
Ответ: скрещивающиеся.

6) $AA_1$ и $CC_1$

Прямые $AA_1$ и $CC_1$ являются противолежащими боковыми ребрами прямоугольного параллелепипеда. Все боковые ребра параллелепипеда параллельны друг другу. Они лежат в одной плоскости — плоскости диагонального сечения $ACC_1A_1$.
Ответ: параллельные.