Страница 37 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5. Сформулируйте теорему о плоскости, которую задают две параллельные прямые.

Теорема о плоскости, которую задают две параллельные прямые:

Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Это утверждение состоит из двух частей: существования такой плоскости и ее единственности. Докажем обе части.

Доказательство:

Пусть нам даны две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$).

1. Существование плоскости.

По определению, две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Само это определение уже утверждает, что существует как минимум одна плоскость, в которой лежат обе прямые $a$ и $b$.

Можно также доказать существование конструктивно:
Возьмем на прямой $a$ произвольную точку $M_1$, а на прямой $b$ — произвольную точку $M_2$. Через эти точки можно провести прямую $c$. Прямые $a$ и $c$ пересекаются в точке $M_1$. Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость (согласно соответствующей теореме). Обозначим эту плоскость $\alpha$. Таким образом, прямая $a$ и точка $M_2$ лежат в плоскости $\alpha$.
Прямая $b$ проходит через точку $M_2 \in \alpha$ и параллельна прямой $a \in \alpha$. Если бы прямая $b$ пересекала плоскость $\alpha$, то по свойству параллельных прямых она должна была бы пересечь и прямую $a$, что противоречит условию $a \parallel b$. Следовательно, прямая $b$ также целиком лежит в плоскости $\alpha$.
Таким образом, существование плоскости, проходящей через две параллельные прямые, доказано.

2. Единственность плоскости.

Допустим, что через параллельные прямые $a$ и $b$ проходит не одна, а две различные плоскости: $\alpha$ и $\beta$.

Выберем на прямой $a$ какую-нибудь точку $A$. На прямой $b$ выберем две различные точки — $B$ и $C$.

Так как прямые $a$ и $b$ параллельны, то точка $A$ не лежит на прямой $b$. Следовательно, точки $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой.

По нашему предположению, обе плоскости, $\alpha$ и $\beta$, проходят через прямые $a$ и $b$. Значит, обе плоскости проходят через точки $A$, $B$ и $C$.

Согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Отсюда следует, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ должны совпадать. Это противоречит нашему первоначальному допущению, что они различны.

Следовательно, наше допущение было неверным, и через две параллельные прямые может проходить только одна плоскость.

Таким образом, теорема полностью доказана.

Ответ: Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.

6. Сформулируйте теорему о прямой, проходящей через заданную точку параллельно данной прямой.

6.

Данная теорема является фундаментальной в евклидовой геометрии и часто принимается как аксиома (аксиома параллельности). Она утверждает существование и единственность прямой, проходящей через заданную точку параллельно другой прямой.

Формулировка теоремы:

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Для развернутого ответа приведем доказательство этой теоремы, которое состоит из двух частей: доказательства существования и доказательства единственности.

Дано: прямая $a$ и точка $M$, не лежащая на прямой $a$ ($M \notin a$).

Требуется доказать: существует единственная прямая $b$, такая что $M \in b$ и $b \parallel a$.

1. Доказательство существования

Проведем через точку $M$ и произвольную точку $K$ на прямой $a$ вспомогательную прямую (секущую) $c$. При пересечении прямых $a$ и $c$ образуются углы. Обозначим один из внутреннних накрест лежащих углов как $\angle 1$.

Теперь построим прямую $b$, проходящую через точку $M$, так, чтобы внутренний накрест лежащий угол $\angle 2$ при пересечении прямых $b$ и $c$ был равен углу $\angle 1$. Такое построение возможно согласно аксиоме откладывания угла.

Поскольку внутренние накрест лежащие углы $\angle 1$ и $\angle 2$ равны ($\angle 1 = \angle 2$), то по первому признаку параллельности прямых, прямая $b$ параллельна прямой $a$ ($b \parallel a$).

Таким образом, мы доказали, что через точку $M$ проходит как минимум одна прямая, параллельная данной прямой $a$.

2. Доказательство единственности

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что через точку $M$ можно провести еще одну прямую $b'$, отличную от прямой $b$, и при этом $b'$ также параллельна прямой $a$.

В этом случае мы имеем две различные прямые ($b$ и $b'$) которые проходят через одну и ту же точку $M$ и обе параллельны третьей прямой $a$.

Это противоречит аксиоме параллельных прямых (пятому постулату Евклида), которая гласит, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Следовательно, наше предположение неверно, и прямая $b$, проходящая через точку $M$ параллельно прямой $a$, является единственной.

Ответ: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

7. Сформулируйте признак скрещивающихся прямых.

Признак скрещивающихся прямых

Признак скрещивающихся прямых формулируется в виде следующей теоремы:

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые являются скрещивающимися.

Доказательство:

Пусть даны две прямые $a$ и $b$. Пусть прямая $a$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), а прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $M$, причём точка $M$ не лежит на прямой $a$ ($M \notin a$).

Необходимо доказать, что прямые $a$ и $b$ скрещиваются, то есть не лежат в одной плоскости. Будем использовать метод доказательства от противного.

Предположим, что прямые $a$ и $b$ не являются скрещивающимися. Это означает, что они лежат в одной плоскости. В этом случае они могут быть либо параллельными, либо пересекающимися. Рассмотрим оба варианта.

1. Предположим, что прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).
Если прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $b$ параллельна прямой $a$, то согласно признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $b$ должна быть либо также лежать в плоскости $\alpha$, либо быть параллельной ей. Однако по условию теоремы прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$. Это является противоречием. Следовательно, прямые $a$ и $b$ не могут быть параллельными.

2. Предположим, что прямые $a$ и $b$ пересекаются.
Пусть прямые $a$ и $b$ пересекаются в некой точке $K$. Поскольку прямая $a$ полностью лежит в плоскости $\alpha$, то и точка их пересечения $K$ должна принадлежать плоскости $\alpha$. Таким образом, точка $K$ является точкой пересечения прямой $b$ с плоскостью $\alpha$. Но по условию теоремы, прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$ в единственной точке $M$. Следовательно, точки $K$ и $M$ должны совпадать ($K=M$). Это означает, что точка $M$ лежит на прямой $a$. Однако это противоречит условию, что точка $M$ не принадлежит прямой $a$ ($M \notin a$). Следовательно, прямые $a$ и $b$ не могут пересекаться.

Поскольку прямые $a$ и $b$ не могут быть ни параллельными, ни пересекающимися, наше первоначальное предположение о том, что они лежат в одной плоскости, является неверным. Таким образом, прямые $a$ и $b$ не лежат в одной плоскости, а значит, они являются скрещивающимися. Теорема доказана.

Ответ: Признак скрещивающихся прямых гласит: если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, которая не лежит на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

4.1. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 4.11). Назовите рёбра: 1) параллельные ребру $CD$; 2) скрещивающиеся с ребром $CD$.

Рис. 4.11

1) параллельные ребру $CD$

Параллельные прямые (и, соответственно, рёбра) лежат в одной плоскости и не пересекаются. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребру $CD$ параллельны следующие рёбра:
- Ребро $AB$, так как они лежат в плоскости нижнего основания $ABCD$ и являются противоположными сторонами квадрата $ABCD$. Следовательно, $AB \parallel CD$.
- Ребро $C_1D_1$, так как они лежат в плоскости задней грани $CDD_1C_1$ и являются противоположными сторонами квадрата $CDD_1C_1$. Следовательно, $C_1D_1 \parallel CD$.
- Ребро $A_1B_1$, так как оно параллельно ребру $AB$ (противоположные стороны квадрата $A_1B_1C_1D_1$), а ребро $AB$ в свою очередь параллельно ребру $CD$. По свойству транзитивности параллельных прямых в пространстве, если $A_1B_1 \parallel AB$ и $AB \parallel CD$, то $A_1B_1 \parallel CD$.

Ответ: $AB, A_1B_1, C_1D_1$.

2) скрещивающиеся с ребром $CD$

Скрещивающиеся прямые (рёбра) — это прямые, которые не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Чтобы найти все рёбра, скрещивающиеся с ребром $CD$, мы должны исключить из всего множества рёбер куба те, которые либо параллельны ребру $CD$, либо пересекают его.
1. Рёбра, параллельные ребру $CD$. Из предыдущего пункта мы знаем, что это рёбра: $AB, A_1B_1, C_1D_1$.
2. Рёбра, пересекающие ребро $CD$. Это рёбра, которые имеют общую вершину с ребром $CD$. Вершины ребра $CD$ — это $C$ и $D$.
- В вершине $C$ с ребром $CD$ пересекаются рёбра $BC$ и $CC_1$.
- В вершине $D$ с ребром $CD$ пересекаются рёбра $AD$ и $DD_1$.
Всего в кубе 12 рёбер. Исключим само ребро $CD$ (1), три параллельных ему ребра ($AB, A_1B_1, C_1D_1$) и четыре пересекающих его ребра ($BC, CC_1, AD, DD_1$).
$12 - 1 - 3 - 4 = 4$.
Оставшиеся 4 ребра и будут скрещивающимися с ребром $CD$. Это рёбра, которые не лежат в плоскостях граней, содержащих ребро $CD$ (плоскости $ABCD$ и $CDD_1C_1$), и не параллельны ему:
- Вертикальные рёбра передней грани: $AA_1$ и $BB_1$.
- Рёбра верхнего основания, которые не параллельны $CD$: $A_1D_1$ и $B_1C_1$.

Ответ: $AA_1, BB_1, A_1D_1, B_1C_1$.

4.2. Приведите примеры, иллюстрирующие понятие «скрещивающиеся прямые», используя предметы классной комнаты.

Скрещивающиеся прямые — это прямые в пространстве, которые не пересекаются и не являются параллельными. Основной признак скрещивающихся прямых заключается в том, что они не лежат в одной плоскости.

Пример 1: Стены, пол и потолок комнаты

Представим классную комнату в виде прямоугольного параллелепипеда. В качестве первой прямой возьмем линию пересечения пола и передней стены (линия плинтуса). В качестве второй прямой возьмем вертикальное ребро, образованное пересечением задней и боковой стен. Эти две прямые не пересекаются, так как лежат в разных плоскостях (плоскости пола и плоскости задней стены), и не параллельны друг другу. Таким образом, они являются скрещивающимися.

Ответ: Линия пересечения пола и одной из стен и вертикальное ребро на противоположной стене.

Пример 2: Школьная доска и пол

Рассмотрим линию, содержащую верхний край школьной доски, висящей на стене. А теперь рассмотрим линию пересечения пола и стены, перпендикулярной той, на которой висит доска. Эти две прямые (одна на стене, другая на полу) не имеют общих точек и не параллельны. Следовательно, они скрещиваются.

Ответ: Прямая, содержащая верхний край доски, и прямая, содержащая плинтус у боковой стены.

Пример 3: Парта или стол

Возьмем ученический стол. Одна прямая — это передний край столешницы. Вторая прямая — это линия, содержащая заднюю ножку стола, которая не касается переднего края. Эти прямые не пересекаются и не параллельны, так как одна из них лежит в горизонтальной плоскости столешницы, а другая проходит через эту плоскость в другой точке.

Ответ: Прямая, содержащая передний край столешницы, и прямая, содержащая одну из задних ножек стола.

4.3. Дана пирамида $SABCD$ (рис. 4.12). Назовите рёбра пирамиды, скрещивающиеся с ребром $SA$.

Рис. 4.12

Скрещивающимися прямыми в пространстве называются такие прямые, которые не пересекаются и не параллельны. Эквивалентное определение гласит, что это прямые, которые не лежат в одной плоскости. Чтобы найти рёбра пирамиды $SABCD$, скрещивающиеся с ребром $SA$, нужно последовательно исключить все рёбра, которые его пересекают или ему параллельны.

1. Рёбра, пересекающие ребро $SA$.
Это рёбра, которые имеют с ребром $SA$ общую вершину.

• В вершине $S$ с ребром $SA$ пересекаются боковые рёбра $SB$, $SC$ и $SD$.
• В вершине $A$ с ребром $SA$ пересекаются рёбра основания $AB$ и $AD$.

Таким образом, рёбра $AB$, $AD$, $SB$, $SC$, $SD$ не являются скрещивающимися с ребром $SA$.

2. Рёбра, параллельные ребру $SA$.
В общем случае в пирамиде нет рёбер, параллельных боковому ребру. Поэтому таких рёбер нет.

3. Оставшиеся рёбра.
Рёбра, которые не были перечислены выше, это $BC$ и $CD$. Они не пересекают ребро $SA$ и не параллельны ему. Проверим, лежат ли они в одной плоскости с ребром $SA$.

• Ребро $BC$: Прямая $SA$ лежит в плоскости боковой грани $(SAB)$. Точка $C$ не принадлежит этой плоскости, поскольку иначе она лежала бы на прямой $AB$, что невозможно для вершин основания пирамиды. Так как прямая $BC$ содержит точку $C$, не лежащую в плоскости $(SAB)$, то прямая $BC$ не может лежать в этой плоскости. Следовательно, прямые $SA$ и $BC$ не лежат в одной плоскости, а значит, они скрещиваются.
• Ребро $CD$: Прямая $SA$ лежит в плоскости боковой грани $(SAD)$. Точка $C$ не принадлежит этой плоскости, поскольку иначе она лежала бы на прямой $AD$. Так как прямая $CD$ содержит точку $C$, не лежащую в плоскости $(SAD)$, то прямая $CD$ не может лежать в этой плоскости. Следовательно, прямые $SA$ и $CD$ не лежат в одной плоскости, а значит, они скрещиваются.

В результате анализа мы установили, что с ребром $SA$ скрещиваются рёбра $BC$ и $CD$.

Ответ: $BC$, $CD$.

4.4. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 4.13). Укажите взаимное расположение прямых:

1) $BC$ и $A_1C$

2) $AB$ и $C_1D_1$

3) $BD$ и $CC_1$

4) $AB_1$ и $DC_1$

5) $DC_1$ и $BB_1$

6) $AA_1$ и $CC_1$

Рис. 4.11

Рис. 4.12

Рис. 4.13

Для определения взаимного расположения прямых в прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ воспользуемся определениями пересекающихся, параллельных и скрещивающихся прямых в пространстве.

1) $BC$ и $A_1C$

Прямые $BC$ и $A_1C$ имеют одну общую точку $C$. По определению, две прямые в пространстве, имеющие ровно одну общую точку, называются пересекающимися. Эти прямые лежат в плоскости сечения $A_1BC$.
Ответ: пересекающиеся.

2) $AB$ и $C_1D_1$

В прямоугольном параллелепипеде основания являются прямоугольниками, а боковые ребра перпендикулярны основаниям. Ребро $AB$ лежит в плоскости нижнего основания, а ребро $C_1D_1$ — в плоскости верхнего основания. Основания $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ параллельны. Также, $AB \parallel DC$ и $DC \parallel D_1C_1$. По свойству транзитивности, $AB \parallel D_1C_1$. Параллельные прямые лежат в одной плоскости (в данном случае, в плоскости диагонального сечения $ABC_1D_1$).
Ответ: параллельные.

3) $BD$ и $CC_1$

Прямая $BD$ является диагональю нижнего основания и целиком лежит в плоскости $ABCD$. Прямая $CC_1$ является боковым ребром, она перпендикулярна плоскости $ABCD$ и пересекает ее в точке $C$, которая не лежит на прямой $BD$. Таким образом, эти прямые не имеют общих точек, то есть не пересекаются. Они также не лежат в одной плоскости. Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.
Ответ: скрещивающиеся.

4) $AB_1$ и $DC_1$

Рассмотрим четырехугольник $AB_1C_1D$. В прямоугольном параллелепипеде ребра $AD$ и $B_1C_1$ параллельны и равны. Следовательно, четырехугольник $AB_1C_1D$ является параллелограммом (по признаку параллелограмма: две стороны параллельны и равны). Прямые $AB_1$ и $DC_1$ являются противоположными сторонами этого параллелограмма, а значит, они параллельны.
Ответ: параллельные.

5) $DC_1$ и $BB_1$

Прямая $BB_1$ параллельна прямой $CC_1$, так как они являются боковыми ребрами. Прямая $CC_1$ лежит в плоскости задней грани $DCC_1D_1$. Следовательно, прямая $BB_1$ параллельна плоскости $DCC_1D_1$. Прямая $DC_1$ лежит в этой плоскости. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая параллельна этой плоскости, но не лежит в ней, то эти прямые скрещиваются. Направления прямых $BB_1$ (вертикальное ребро) и $DC_1$ (диагональ боковой грани) не совпадают, значит они не параллельны. Следовательно, они скрещиваются.
Ответ: скрещивающиеся.

6) $AA_1$ и $CC_1$

Прямые $AA_1$ и $CC_1$ являются противолежащими боковыми ребрами прямоугольного параллелепипеда. Все боковые ребра параллелепипеда параллельны друг другу. Они лежат в одной плоскости — плоскости диагонального сечения $ACC_1A_1$.
Ответ: параллельные.

4.5. Верно ли утверждение:

1) две прямые, не являющиеся параллельными, имеют общую точку;

2) две прямые, не являющиеся скрещивающимися, лежат в одной плоскости;

3) две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются;

4) две прямые являются скрещивающимися, если они не пересекаются и не параллельны?

1) две прямые, не являющиеся параллельными, имеют общую точку;
Утверждение неверно. Это утверждение справедливо только для прямых, лежащих в одной плоскости. В трехмерном пространстве две прямые, которые не являются параллельными, могут и не пересекаться. Такие прямые называются скрещивающимися. Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости. Например, в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребро $AB$ на нижнем основании и ребро $D_1C_1$ на верхнем основании параллельны. А вот ребро $AB$ и ребро $A_1D_1$ не параллельны и не пересекаются — они являются скрещивающимися.
Ответ: неверно.

2) две прямые, не являющиеся скрещивающимися, лежат в одной плоскости;
Утверждение верно. По определению, скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости. Следовательно, если две прямые не являются скрещивающимися, то они лежат в одной плоскости. Прямые, лежащие в одной плоскости, могут быть либо пересекающимися, либо параллельными.
Ответ: верно.

3) две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются;
Утверждение неверно. Две различные прямые, лежащие в одной плоскости, могут не пересекаться. В этом случае они являются параллельными. Например, две противоположные стороны прямоугольника лежат в одной плоскости, но они параллельны и не пересекаются.
Ответ: неверно.

4) две прямые являются скрещивающимися, если они не пересекаются и не параллельны?
Утверждение верно. Это является определением скрещивающихся прямых. Рассмотрим все возможные взаимные расположения двух различных прямых в пространстве:
- они лежат в одной плоскости (компланарны), и тогда они либо пересекаются, либо параллельны.
- они не лежат в одной плоскости, и тогда они называются скрещивающимися. Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не параллельны.
Таким образом, если две прямые не пересекаются, они могут быть либо параллельными, либо скрещивающимися. Если к этому добавить условие, что они не параллельны, то остается единственный вариант — прямые являются скрещивающимися.
Ответ: верно.

4.6. Дан куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ (рис. 4.14). Докажите, что прямые $AA_1$ и $BC$ скрещивающиеся.

Рис. 4.14

Для доказательства того, что прямые $AA_1$ и $BC$ являются скрещивающимися, воспользуемся признаком скрещивающихся прямых. Согласно этому признаку, если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые являются скрещивающимися.

Рассмотрим прямую $BC$. Она является ребром куба и принадлежит плоскости нижнего основания, то есть плоскости $(ABC)$.

Теперь рассмотрим прямую $AA_1$. Эта прямая является боковым ребром куба. Она пересекает плоскость основания $(ABC)$ в точке $A$, так как точка $A$ принадлежит и прямой $AA_1$, и плоскости $(ABC)$, а точка $A_1$ этой плоскости не принадлежит.

Точка пересечения прямой $AA_1$ и плоскости $(ABC)$ — это точка $A$. Эта точка не лежит на прямой $BC$, поскольку $A$, $B$ и $C$ — это три различные вершины квадрата в основании, и точка $A$ не совпадает ни с точкой $B$, ни с точкой $C$.

Таким образом, все условия признака скрещивающихся прямых выполнены: прямая $BC$ лежит в плоскости $(ABC)$, а прямая $AA_1$ пересекает эту плоскость в точке $A$, которая не принадлежит прямой $BC$. Следовательно, прямые $AA_1$ и $BC$ скрещиваются.

Ответ: Доказано, что прямые $AA_1$ и $BC$ являются скрещивающимися.