Номер 7, страница 37 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 7, страница 37.

Условие.

7. Сформулируйте признак скрещивающихся прямых.

Решение 1.

Решение 3.

Признак скрещивающихся прямых

Признак скрещивающихся прямых формулируется в виде следующей теоремы:

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые являются скрещивающимися.

Доказательство:

Пусть даны две прямые $a$ и $b$. Пусть прямая $a$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), а прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $M$, причём точка $M$ не лежит на прямой $a$ ($M \notin a$).

Необходимо доказать, что прямые $a$ и $b$ скрещиваются, то есть не лежат в одной плоскости. Будем использовать метод доказательства от противного.

Предположим, что прямые $a$ и $b$ не являются скрещивающимися. Это означает, что они лежат в одной плоскости. В этом случае они могут быть либо параллельными, либо пересекающимися. Рассмотрим оба варианта.

1. Предположим, что прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).
Если прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $b$ параллельна прямой $a$, то согласно признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $b$ должна быть либо также лежать в плоскости $\alpha$, либо быть параллельной ей. Однако по условию теоремы прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$. Это является противоречием. Следовательно, прямые $a$ и $b$ не могут быть параллельными.

2. Предположим, что прямые $a$ и $b$ пересекаются.
Пусть прямые $a$ и $b$ пересекаются в некой точке $K$. Поскольку прямая $a$ полностью лежит в плоскости $\alpha$, то и точка их пересечения $K$ должна принадлежать плоскости $\alpha$. Таким образом, точка $K$ является точкой пересечения прямой $b$ с плоскостью $\alpha$. Но по условию теоремы, прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$ в единственной точке $M$. Следовательно, точки $K$ и $M$ должны совпадать ($K=M$). Это означает, что точка $M$ лежит на прямой $a$. Однако это противоречит условию, что точка $M$ не принадлежит прямой $a$ ($M \notin a$). Следовательно, прямые $a$ и $b$ не могут пересекаться.

Поскольку прямые $a$ и $b$ не могут быть ни параллельными, ни пересекающимися, наше первоначальное предположение о том, что они лежат в одной плоскости, является неверным. Таким образом, прямые $a$ и $b$ не лежат в одной плоскости, а значит, они являются скрещивающимися. Теорема доказана.

Ответ: Признак скрещивающихся прямых гласит: если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, которая не лежит на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.