Номер 7, страница 38 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 7, страница 38.

Условие.

4.7. Треугольники $ABC$ и $ADB$ лежат в разных плоскостях (рис. 4.15). Каково взаимное расположение прямых $AD$ и $BC$? Ответ обоснуйте.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

4.7.Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещивающимися. Для определения взаимного расположения прямых $AD$ и $BC$ воспользуемся методом от противного.
Предположим, что прямые $AD$ и $BC$ не являются скрещивающимися. Тогда они либо пересекаются, либо параллельны. В обоих случаях через них можно провести единственную плоскость. Пусть все четыре точки $A, B, C, D$ лежат в одной плоскости $\alpha$.
В таком случае треугольник $ABC$, который определяется точками $A, B, C$, лежит в плоскости $\alpha$. Аналогично, треугольник $ADB$, определяемый точками $A, D, B$, также лежит в плоскости $\alpha$.
Это означает, что оба треугольника лежат в одной и той же плоскости. Однако, по условию задачи, треугольники $ABC$ и $ADB$ лежат в разных плоскостях. Мы получили противоречие.
Следовательно, наше предположение было неверным. Прямые $AD$ и $BC$ не могут лежать в одной плоскости, а значит они не пересекаются и не параллельны. Таким образом, прямые $AD$ и $BC$ являются скрещивающимися.
Ответ: Прямые $AD$ и $BC$ являются скрещивающимися.

4.8.Пусть через точку $M$, не лежащую на прямой $a$, проведены две различные прямые $b$ и $c$. По условию, прямые $b$ и $c$ не имеют общих точек с прямой $a$. Это значит, что каждая из них либо параллельна прямой $a$, либо скрещивается с ней.
Докажем утверждение методом от противного. Предположим, что ни одна из прямых $b$ и $c$ не скрещивается с прямой $a$.
Так как прямая $b$ не имеет общих точек с прямой $a$ и, по нашему предположению, не скрещивается с ней, то прямая $b$ должна быть параллельна прямой $a$ ($b \parallel a$).
Аналогично, так как прямая $c$ не имеет общих точек с прямой $a$ и не скрещивается с ней, то она также должна быть параллельна прямой $a$ ($c \parallel a$).
Таким образом, мы имеем две различные прямые $b$ и $c$, проходящие через одну и ту же точку $M$, и обе они параллельны прямой $a$.
Это противоречит теореме о параллельных прямых в пространстве (следствие из аксиомы параллельных), которая гласит, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Следовательно, наше предположение неверно. Значит, хотя бы одна из прямых $b$ или $c$ является скрещивающейся с прямой $a$.
Ответ: Утверждение доказано.