Номер 13, страница 38 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 13, страница 38.

Условие.

4.13. Сколько плоскостей задают четыре попарно параллельные прямые, никакие три из которых не лежат в одной плоскости? Сделайте рисунок.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Согласно одной из аксиом стереометрии, через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость. В условии даны четыре попарно параллельные прямые. Обозначим их $a, b, c$ и $d$.

Чтобы найти общее количество плоскостей, которые задают эти прямые, необходимо определить, сколько различных пар параллельных прямых можно составить из четырех данных. Эта задача сводится к нахождению числа сочетаний из 4 элементов по 2.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее количество прямых $n=4$, а для задания одной плоскости требуется выбрать $k=2$ прямые. Подставляя эти значения в формулу, получаем:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$

Таким образом, можно образовать 6 уникальных пар прямых, каждая из которых задает свою плоскость. Эти пары: $(a, b)$, $(a, c)$, $(a, d)$, $(b, c)$, $(b, d)$ и $(c, d)$.

Условие "никакие три из которых не лежат в одной плоскости" является ключевым. Оно гарантирует, что все 6 плоскостей, заданные этими парами, различны. Если бы, например, прямые $a, b$ и $c$ лежали в одной плоскости, то плоскости, образованные парами $(a, b)$, $(a, c)$ и $(b, c)$, совпадали бы, и общее число уникальных плоскостей было бы меньше.

Рисунок

На рисунке четыре параллельные прямые $a, b, c, d$ изображены в виде боковых ребер наклонного параллелепипеда. Такое расположение удовлетворяет условию, что никакие три прямые не лежат в одной плоскости. Четыре плоскости являются боковыми гранями этого параллелепипеда, а еще две — его диагональными сечениями (на рисунке закрашена одна из диагональных плоскостей, проходящая через прямые $a$ и $c$).

Ответ: 6