Номер 20, страница 39 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 20, страница 39.

Условие.

4.20. Для прямых на плоскости верно утверждение: «Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую». Верно ли это утверждение для прямых в пространстве?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Нет, данное утверждение неверно для прямых в пространстве. Чтобы доказать это, достаточно привести один контрпример.

Рассмотрим две параллельные прямые $a$ и $b$. Согласно свойству параллельных прямых, они лежат в одной плоскости, назовем ее $\alpha$.

Возьмем третью прямую $c$, которая пересекает прямую $a$ в точке $M$, но при этом прямая $c$ не лежит в плоскости $\alpha$. Такой случай возможен в трехмерном пространстве. Прямая $c$ будет пересекать плоскость $\alpha$ только в одной точке – $M$.

Прямая $b$ также лежит в плоскости $\alpha$. Поскольку прямые $a$ и $b$ параллельны, они не имеют общих точек. Следовательно, точка $M$, принадлежащая прямой $a$, не принадлежит прямой $b$.

Таким образом, прямая $c$ имеет с плоскостью $\alpha$ единственную общую точку $M$, которая не лежит на прямой $b$. Это означает, что прямая $c$ не пересекает прямую $b$. В этом случае прямые $b$ и $c$ являются скрещивающимися.

Мы построили пример, в котором прямая $c$ пересекает одну из двух параллельных прямых ($a$), но не пересекает другую ($b$). Следовательно, исходное утверждение для прямых в пространстве является ложным.

Ответ: Нет, утверждение неверно для прямых в пространстве.