Номер 21, страница 39 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 21, страница 39.

Условие.

4.21. Точка $M$ не принадлежит ни одной из скрещивающихся прямых $a$ и $b$. Можно ли через точку $M$ провести две прямые, каждая из которых будет пересекать и прямую $a$, и прямую $b$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Нет, нельзя. Докажем это методом от противного.

Предположим, что через точку $M$ можно провести две различные прямые, назовем их $c_1$ и $c_2$, каждая из которых пересекает и прямую $a$, и прямую $b$.

Поскольку прямые $c_1$ и $c_2$ различны и пересекаются в точке $M$, через них можно провести единственную плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha$. Обе прямые, $c_1$ и $c_2$, целиком лежат в плоскости $\alpha$.

Пусть прямая $c_1$ пересекает прямую $a$ в точке $A_1$ и прямую $b$ в точке $B_1$.Пусть прямая $c_2$ пересекает прямую $a$ в точке $A_2$ и прямую $b$ в точке $B_2$.

Точки $A_1$ и $A_2$ принадлежат прямой $a$. В то же время, точка $A_1$ лежит на прямой $c_1$, а $A_2$ — на прямой $c_2$. Так как обе прямые $c_1$ и $c_2$ лежат в плоскости $\alpha$, то и точки $A_1$ и $A_2$ лежат в плоскости $\alpha$. Если предположить, что $A_1$ и $A_2$ совпадают, то прямые $c_1$ и $c_2$ обе проходят через две различные точки (точку $M$ и точку $A_1=A_2$), а значит, совпадают. Это противоречит нашему предположению о том, что прямые $c_1$ и $c_2$ различны. Следовательно, точки $A_1$ и $A_2$ различны.

Поскольку две различные точки ($A_1$ и $A_2$) прямой $a$ лежат в плоскости $\alpha$, то вся прямая $a$ лежит в этой плоскости.

Аналогично, точки $B_1$ и $B_2$ принадлежат прямой $b$ и лежат в плоскости $\alpha$. Они также должны быть различны, иначе прямые $c_1$ и $c_2$ совпали бы. Следовательно, вся прямая $b$ также лежит в плоскости $\alpha$.

Таким образом, мы пришли к выводу, что если бы существовали две искомые прямые, то прямые $a$ и $b$ должны были бы лежать в одной плоскости $\alpha$.

Это противоречит условию задачи, в котором сказано, что прямые $a$ и $b$ скрещивающиеся. По определению, скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости. Полученное противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: нет, нельзя.