Номер 25, страница 40 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 25, страница 40.

Условие.

4.25. Треугольник $ABC$ не имеет общих точек с плоскостью $\alpha$. Отрезок $BM$ – медиана треугольника $ABC$, точка $O$ – середина отрезка $BM$. Через точки $A, B, C, M$ и $O$ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $A_1, B_1, C_1, M_1$ и $O_1$ соответственно. Найдите отрезок $BB_1$, если $AA_1 = 17$ см, $CC_1 = 13$ см, $OO_1 = 12$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку отрезок $BM$ является медианой треугольника $ABC$, то точка $M$ — середина стороны $AC$. По условию, через точки $A$, $C$ и $M$ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $A_1$, $C_1$ и $M_1$. Это означает, что четырехугольник $ACC_1A_1$ является трапецией, в которой отрезки $AA_1$ и $CC_1$ — параллельные основания, а $AC$ и $A_1C_1$ — боковые стороны. Отрезок $MM_1$ соединяет середину боковой стороны $AC$ с боковой стороной $A_1C_1$ и параллелен основаниям, следовательно, $MM_1$ является средней линией трапеции $ACC_1A_1$. Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований.

Найдем длину отрезка $MM_1$:

$MM_1 = \frac{AA_1 + CC_1}{2}$

Подставим известные значения $AA_1 = 17$ см и $CC_1 = 13$ см:

$MM_1 = \frac{17 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

Теперь рассмотрим отрезок $BM$. По условию, точка $O$ — середина отрезка $BM$. Через точки $B$, $M$ и $O$ также проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\alpha$ в точках $B_1$, $M_1$ и $O_1$. Аналогично предыдущему случаю, четырехугольник $BMM_1B_1$ является трапецией с основаниями $BB_1$ и $MM_1$. Отрезок $OO_1$ является средней линией этой трапеции.

Используя формулу для средней линии трапеции $BMM_1B_1$, выразим искомую длину отрезка $BB_1$:

$OO_1 = \frac{BB_1 + MM_1}{2}$

Подставим известные значения $OO_1 = 12$ см и найденное значение $MM_1 = 15$ см:

$12 = \frac{BB_1 + 15}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$24 = BB_1 + 15$

Теперь найдем $BB_1$:

$BB_1 = 24 - 15$

$BB_1 = 9$ см.

Ответ: 9 см.