Номер 4, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 4, страница 45.

Условие.

4. Сформулируйте теоремы, описывающие достаточные условия параллельности двух прямых в пространстве.

Решение 1.

Решение 3.

Достаточные условия параллельности двух прямых в пространстве описываются следующими теоремами (признаками):

Теорема 1 (транзитивность параллельности прямых)

Если две прямые в пространстве параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

Пусть даны три различные прямые $a$, $b$ и $c$ в пространстве. Если прямая $a$ параллельна прямой $c$ ($a \parallel c$) и прямая $b$ параллельна прямой $c$ ($b \parallel c$), то прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$).

Ответ: Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Теорема 2 (о пересечении параллельных плоскостей)

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.

Пусть даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ ($\alpha \parallel \beta$). Если третья плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $a$ и плоскость $\beta$ по прямой $b$, то прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).

Ответ: Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны между собой.

Теорема 3 (следствие из признака параллельности прямой и плоскости)

Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту вторую плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Пусть прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$), и при этом прямая $a$ не лежит в плоскости $\alpha$. Если плоскость $\beta$ проходит через прямую $a$ ($a \subset \beta$) и пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $b$, то прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$).

Ответ: Если плоскость, содержащая прямую, пересекает другую плоскость, которой исходная прямая параллельна, то линия пересечения плоскостей будет параллельна исходной прямой.