Номер 7, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 7, страница 46.

Условие.

5.7. Прямые $a$ и $b$ пересекаются, а плоскость $\alpha$ параллельна прямой $a$. Каким может быть взаимное расположение прямой $b$ и плоскости $\alpha$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$. По условию, плоскость $\alpha$ параллельна прямой $a$.

По определению, если прямая параллельна плоскости, то они не имеют общих точек. Так как $a \parallel \alpha$, то $a \cap \alpha = \emptyset$. Поскольку точка $M$ принадлежит прямой $a$ ($M \in a$), то она не может принадлежать плоскости $\alpha$ ($M \notin \alpha$).

Теперь рассмотрим взаимное расположение прямой $b$ и плоскости $\alpha$. Прямая $b$ проходит через точку $M$, которая не лежит в плоскости $\alpha$. Из этого следует, что прямая $b$ не может лежать в плоскости $\alpha$, так как в этом случае все ее точки, включая $M$, принадлежали бы плоскости $\alpha$, что является противоречием.

Следовательно, для прямой $b$ и плоскости $\alpha$ остаются возможными только два варианта взаимного расположения:
1. Прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$ в одной точке.
2. Прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$.

Докажем, что оба этих случая возможны. Пересекающиеся прямые $a$ и $b$ определяют единственную плоскость $\beta$.

Случай 1: Прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$.
Этот случай реализуется, если плоскость $\beta$, содержащая прямые $a$ и $b$, пересекает плоскость $\alpha$. Пусть линия их пересечения — прямая $c$. Согласно теореме о линии пересечения двух плоскостей, одна из которых проходит через прямую, параллельную другой плоскости, прямая $c$ параллельна прямой $a$ ($c \parallel a$). В плоскости $\beta$ лежат прямые $a$, $b$ и $c$. Так как прямая $b$ пересекает прямую $a$, она не параллельна ей, а значит, $b$ пересекает и прямую $c$, которая параллельна $a$. Точка пересечения прямых $b$ и $c$ принадлежит обеим прямым. Поскольку прямая $c$ лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$), то эта точка пересечения является общей точкой для прямой $b$ и плоскости $\alpha$. Таким образом, прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$.

Случай 2: Прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$.
Этот случай реализуется, если плоскость $\beta$, содержащая прямые $a$ и $b$, параллельна плоскости $\alpha$. Если $\beta \parallel \alpha$, то по определению параллельных плоскостей, любая прямая, лежащая в плоскости $\beta$, параллельна плоскости $\alpha$. Так как $a \subset \beta$, то $a \parallel \alpha$, что соответствует условию. Так как $b \subset \beta$, то и $b \parallel \alpha$. Таким образом, этот случай также возможен.

Ответ: Прямая $b$ может пересекать плоскость $\alpha$ или быть параллельной плоскости $\alpha$.