Номер 10, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 10, страница 46.

Условие.

5.10. Точки $E$ и $F$ – середины соответственно боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$. Прямая $EF$ лежит в плоскости $\alpha$, отличной от плоскости трапеции. Докажите, что прямые $AD$ и $BC$ параллельны плоскости $\alpha$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию, $ABCD$ — трапеция, а точки $E$ и $F$ — середины ее боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Следовательно, отрезок $EF$ является средней линией трапеции $ABCD$.

Согласно свойству средней линии трапеции, она параллельна основаниям. Таким образом, $EF \parallel AD$ и $EF \parallel BC$.

В задаче дано, что прямая $EF$ лежит в плоскости $\alpha$ (то есть $EF \subset \alpha$), а плоскость трапеции (обозначим ее $\beta$) не совпадает с плоскостью $\alpha$ (то есть $\beta \neq \alpha$).

Докажем, что прямая $AD$ параллельна плоскости $\alpha$, используя признак параллельности прямой и плоскости. Для этого нужно убедиться, что прямая $AD$ не лежит в плоскости $\alpha$ и параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости. Мы знаем, что $AD \parallel EF$ и $EF \subset \alpha$. Остается показать, что $AD$ не лежит в $\alpha$. Предположим обратное: пусть $AD \subset \alpha$. Тогда две параллельные прямые $AD$ и $EF$ лежат в плоскости $\alpha$. Но эти же прямые лежат и в плоскости трапеции $\beta$. Так как две параллельные прямые однозначно задают плоскость, то плоскости $\alpha$ и $\beta$ должны совпадать. Это противоречит условию $\beta \neq \alpha$. Следовательно, наше предположение неверно, и $AD \not\subset \alpha$. Поскольку прямая $AD$ не лежит в плоскости $\alpha$ и параллельна прямой $EF$, лежащей в этой плоскости, то $AD \parallel \alpha$.

Аналогичные рассуждения проведем для прямой $BC$. Мы знаем, что $BC \parallel EF$ и $EF \subset \alpha$. Прямая $BC$ не лежит в плоскости $\alpha$, так как она принадлежит плоскости трапеции $\beta$, которая не совпадает с $\alpha$. Следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости, $BC \parallel \alpha$.

Таким образом, мы доказали, что прямые $AD$ и $BC$ параллельны плоскости $\alpha$.

Ответ: Утверждение доказано.