Номер 13, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 13, страница 46.

Условие.

5.13. Плоскость $\alpha$, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $A_1$ и $C_1$ соответственно (рис. 5.17). Найдите отрезок $A_1C_1$, если $AC = 18$ см и $AA_1 : A_1B = 7 : 5$.

Рис. 5.17

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Рассмотрим плоскость треугольника $ABC$. Прямая $A_1C_1$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости треугольника $ABC$. Поскольку по условию плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AC$ (которая лежит в плоскости $ABC$), то по свойству параллельности прямой и плоскости, линия их пересечения $A_1C_1$ будет параллельна прямой $AC$.

Таким образом, $A_1C_1 \parallel AC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle A_1BC_1$ и $\triangle ABC$.Поскольку $A_1C_1 \parallel AC$, эти треугольники подобны по двум углам:
1. $\angle B$ — общий.
2. $\angle BA_1C_1 = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $A_1C_1$, $AC$ и секущей $AB$.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно (коэффициент подобия $k$):

$k = \frac{A_1B}{AB} = \frac{C_1B}{CB} = \frac{A_1C_1}{AC}$

Из условия известно, что $AA_1 : A_1B = 7 : 5$. Пусть $A_1B = 5x$ и $AA_1 = 7x$ для некоторого коэффициента пропорциональности $x$. Тогда длина всей стороны $AB$ равна сумме её частей:

$AB = AA_1 + A_1B = 7x + 5x = 12x$.

Найдем коэффициент подобия, который равен отношению сторон $A_1B$ и $AB$:

$k = \frac{A_1B}{AB} = \frac{5x}{12x} = \frac{5}{12}$

Теперь, используя пропорцию и известную длину $AC = 18$ см, найдем длину $A_1C_1$:

$\frac{A_1C_1}{AC} = k$

$\frac{A_1C_1}{18} = \frac{5}{12}$

$A_1C_1 = 18 \cdot \frac{5}{12} = \frac{90}{12} = \frac{15}{2} = 7.5$ см.

Ответ: 7,5 см.