Номер 20, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 20, страница 48.

Условие.

5.20. Точка $E$ – середина ребра $AD$ тетраэдра $DABC$ (рис. 5.21). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки $B$ и $E$ и параллельной прямой $AC$. Вычислите периметр сечения, если каждое ребро тетраэдра равно $4$ см.

Рис. 5.21

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Построение сечения
Пусть $\alpha$ — искомая плоскость сечения.
1. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точку $E$ и параллельна прямой $AC$. Плоскость грани $ADC$ содержит прямую $AC$. Следовательно, плоскость $\alpha$ пересекает плоскость $ADC$ по прямой, параллельной $AC$. Проведем в плоскости грани $ADC$ через точку $E$ прямую, параллельную $AC$. Пусть эта прямая пересекает ребро $DC$ в точке $F$. Таким образом, отрезок $EF$ — одна из сторон сечения, причем $EF \parallel AC$.
2. Так как $E$ — середина ребра $AD$ и $EF \parallel AC$, то по теореме Фалеса (или по свойству средней линии треугольника) $F$ является серединой ребра $DC$.
3. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точки $B$ и $E$. Значит, она содержит и отрезок $BE$.
4. Так как точки $B$ и $F$ принадлежат плоскости $\alpha$, то отрезок $BF$ также принадлежит этой плоскости.
5. Таким образом, сечением тетраэдра является треугольник $BEF$.
Ответ: Искомое сечение — треугольник BEF, где F — середина ребра DC.

Вычисление периметра сечения
Периметр сечения $P_{BEF}$ равен сумме длин его сторон: $P_{BEF} = BE + EF + FB$.
По условию, все ребра тетраэдра равны 4 см. Это означает, что тетраэдр правильный, и все его грани — равносторонние треугольники со стороной 4 см.
1. Найдем длину стороны EF.
В треугольнике $ADC$ отрезок $EF$ является средней линией, так как $E$ — середина $AD$ и $F$ — середина $DC$. Длина средней линии равна половине длины основания, которому она параллельна.
$EF = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.
2. Найдем длину стороны BE.
Рассмотрим грань $DAB$. Это равносторонний треугольник со стороной 4 см. $E$ — середина стороны $AD$. Отрезок $BE$ является медианой этого треугольника. Длину медианы равностороннего треугольника со стороной $a$ можно найти по формуле $m = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$BE = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.
Либо можно найти $BE$ по теореме косинусов для треугольника $ABE$, где $AB = 4$ см, $AE = \frac{1}{2}AD = 2$ см, а угол $\angle BAE = 60^\circ$.
$BE^2 = AB^2 + AE^2 - 2 \cdot AB \cdot AE \cdot \cos(60^\circ) = 4^2 + 2^2 - 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 16 + 4 - 8 = 12$.
$BE = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см.
3. Найдем длину стороны FB.
Рассмотрим грань $DCB$. Это также равносторонний треугольник со стороной 4 см. $F$ — середина стороны $DC$. Отрезок $FB$ является медианой этого треугольника. Треугольники $DAB$ и $DCB$ равны, следовательно, их медианы, проведенные из вершины $B$, также равны.
$FB = BE = 2\sqrt{3}$ см.
4. Вычислим периметр.
$P_{BEF} = BE + EF + FB = 2\sqrt{3} + 2 + 2\sqrt{3} = 2 + 4\sqrt{3}$ см.
Ответ: $2 + 4\sqrt{3}$ см.