Номер 27, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 27, страница 48.

Условие.

5.27. Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$. Через точку $M$, лежащую в плоскости $\alpha$, проведена прямая $b$, параллельная прямой $a$. Докажите, что прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Дано:
Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$).
Точка $M$ лежит в плоскости $\alpha$ ($M \in \alpha$).
Через точку $M$ проведена прямая $b$, параллельная прямой $a$ ($b \parallel a$).

Доказать:
Прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).

Доказательство:

Предположим, что прямая $b$ не лежит в плоскости $\alpha$.

Поскольку прямые $a$ и $b$ параллельны по условию ($a \parallel b$), то согласно теореме о существовании плоскости, проходящей через две параллельные прямые, существует единственная плоскость $\beta$, содержащая обе эти прямые. Таким образом, $a \subset \beta$ и $b \subset \beta$.

Точка $M$ принадлежит прямой $b$ ($M \in b$), а прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$, следовательно, точка $M$ также принадлежит плоскости $\beta$ ($M \in \beta$). По условию, точка $M$ принадлежит и плоскости $\alpha$ ($M \in \alpha$).

Это означает, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $M$. По аксиоме, если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Обозначим эту прямую пересечения как $c$. Итак, $c = \alpha \cap \beta$ и $M \in c$.

Теперь рассмотрим теорему о линии пересечения двух плоскостей. Если плоскость ($\beta$) проходит через прямую ($a$), параллельную другой плоскости ($\alpha$), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения ($c$) параллельна данной прямой ($a$). В нашем случае все условия теоремы выполнены: плоскость $\beta$ проходит через прямую $a$, и $a \parallel \alpha$. Следовательно, $c \parallel a$.

Таким образом, мы установили, что через точку $M$ проходят две прямые: $b$ и $c$. При этом обе эти прямые параллельны одной и той же прямой $a$:
1. $b \parallel a$ (по условию задачи).
2. $c \parallel a$ (по доказанному выше).

Согласно аксиоме параллельных прямых в пространстве, через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Отсюда следует, что прямые $b$ и $c$ должны совпадать ($b \equiv c$).

Прямая $c$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, поэтому она целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$).

Поскольку $b \equiv c$ и $c \subset \alpha$, то и прямая $b$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).

Полученное заключение противоречит нашему первоначальному предположению о том, что прямая $b$ не лежит в плоскости $\alpha$. Следовательно, наше предположение было неверным, а доказываемое утверждение истинно.

Ответ: Прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$, что и требовалось доказать.