Номер 23, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 23, страница 48.

Условие.

5.23. Дан тетраэдр $DABC$. Плоскость $\alpha$ проходит через прямую $CD$ и параллельна прямой $AB$. Постройте линию пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости $ABC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Обозначим искомую линию пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости $ABC$ как прямую $l$.

По определению, линия пересечения двух плоскостей — это прямая, все точки которой принадлежат обеим этим плоскостям.

1. По условию задачи, плоскость $\alpha$ проходит через прямую $CD$. Это значит, что точка $C$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($C \in \alpha$).

2. Точка $C$ также является вершиной тетраэдра и принадлежит плоскости основания $ABC$ ($C \in (ABC)$).

3. Из пунктов 1 и 2 следует, что точка $C$ принадлежит обеим плоскостям, а значит, лежит на их линии пересечения $l$ ($C \in l$).

4. По условию задачи, плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AB$ ($AB \parallel \alpha$). При этом прямая $AB$ лежит в плоскости $ABC$ ($AB \subset (ABC)$).

5. Применим теорему о линии пересечения плоскостей: если плоскость ($ABC$) проходит через прямую ($AB$), параллельную другой плоскости ($\alpha$), и пересекает эту плоскость, то линия их пересечения ($l$) параллельна данной прямой ($AB$).

Следовательно, искомая прямая $l$ проходит через точку $C$ и параллельна прямой $AB$.

Построение: В плоскости $ABC$ через точку $C$ проводим прямую $l$, параллельную прямой $AB$. Эта прямая и является искомой линией пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости $ABC$.

Ответ: Искомая линия пересечения — это прямая, проходящая через точку $C$ и параллельная прямой $AB$.