Номер 25, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 25, страница 48.

Условие.

5.25. Точки $E$, $F$, $M$ и $K$ – середины соответственно рёбер $AB$, $BC$, $AD$ и $CD$ тетраэдра $DABC$. Докажите, что отрезки $MF$ и $KE$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим четырехугольник EFKM. Мы докажем, что этот четырехугольник является параллелограммом. Отрезки MF и KE являются его диагоналями, а у параллелограмма диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

1. Рассмотрим грань тетраэдра — треугольник ABC. По условию задачи, E — середина ребра AB, а F — середина ребра BC. Отрезок EF, соединяющий середины двух сторон треугольника, является его средней линией. Согласно свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Следовательно, $EF \parallel AC$ и $EF = \frac{1}{2} AC$.

2. Теперь рассмотрим грань тетраэдра — треугольник ADC. По условию, M — середина ребра AD, а K — середина ребра CD. Аналогично предыдущему пункту, отрезок MK является средней линией треугольника ADC. Следовательно, $MK \parallel AC$ и $MK = \frac{1}{2} AC$.

3. Сравним отрезки EF и MK. Из пунктов 1 и 2 мы получили:

• $EF \parallel AC$ и $MK \parallel AC$. Так как две прямые параллельны третьей, они параллельны между собой. Значит, $EF \parallel MK$.
• $EF = \frac{1}{2} AC$ и $MK = \frac{1}{2} AC$. Значит, длины отрезков равны: $EF = MK$.

4. Мы имеем четырехугольник EFKM, в котором две противолежащие стороны (EF и MK) одновременно и параллельны, и равны. По признаку параллелограмма, такой четырехугольник является параллелограммом.

5. Отрезки MF и KE являются диагоналями параллелограмма EFKM. По свойству диагоналей параллелограмма, они пересекаются в одной точке и этой точкой делятся пополам.

Таким образом, доказано, что отрезки MF и KE пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Ответ: Что и требовалось доказать.