Номер 31, страница 49 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 31, страница 49.

Условие.

5.31. На ребре $BC$ тетраэдра $DABC$ отметили точку $E$ так, что $BE : EC = 2 : 1$. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку $E$ параллельно прямым $AB$ и $CD$. Найдите периметр сечения, если $AB = 18$ см, $CD = 12$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Построение сечения

Пусть $\alpha$ — секущая плоскость. Построим сечение тетраэдра $DABC$ плоскостью $\alpha$, проходящей через точку $E$ на ребре $BC$ параллельно прямым $AB$ и $CD$.

1. В плоскости грани $ABC$ через точку $E$ проведём прямую, параллельную $AB$. Точка пересечения этой прямой с ребром $AC$ назовём $F$. Отрезок $EF$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $ABC$.
2. В плоскости грани $BCD$ через точку $E$ проведём прямую, параллельную $CD$. Точку пересечения этой прямой с ребром $BD$ назовём $G$. Отрезок $EG$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $BCD$.
3. В плоскости грани $ABD$ через точку $G$ проведём прямую, параллельную $AB$. Точку пересечения этой прямой с ребром $AD$ назовём $H$. Отрезок $GH$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $ABD$.
4. Соединим точки $F$ и $H$. Отрезок $FH$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $ACD$.

Четырёхугольник $EFHG$ — искомое сечение.

Докажем, что $EFHG$ — параллелограмм. По построению $EF \parallel AB$ и $GH \parallel AB$, следовательно, $EF \parallel GH$. Докажем, что $FH \parallel CD$. Из условия $BE : EC = 2 : 1$ следует, что $BC = BE + EC = 3EC$. Тогда $\frac{CE}{CB} = \frac{EC}{3EC} = \frac{1}{3}$ и $\frac{BE}{BC} = \frac{2EC}{3EC} = \frac{2}{3}$.

В $\triangle ABC$ по теореме о пропорциональных отрезках, так как $EF \parallel AB$, имеем: $\frac{CF}{CA} = \frac{CE}{CB} = \frac{1}{3}$.

В $\triangle BCD$ по теореме о пропорциональных отрезках, так как $EG \parallel CD$, имеем: $\frac{BG}{BD} = \frac{BE}{BC} = \frac{2}{3}$. Отсюда $\frac{DG}{DB} = 1 - \frac{BG}{BD} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

В $\triangle ABD$ по теореме о пропорциональных отрезках, так как $GH \parallel AB$, имеем: $\frac{DH}{DA} = \frac{DG}{DB} = \frac{1}{3}$.

Теперь рассмотрим грань $ACD$. В $\triangle ACD$ имеем $\frac{CF}{CA} = \frac{1}{3}$ и $\frac{DH}{DA} = \frac{1}{3}$. По обратной теореме о пропорциональных отрезках, из равенства отношений $\frac{AC - CF}{AC} = \frac{AD - DH}{AD}$ следует, что $\frac{AF}{AC} = \frac{AH}{AD} = \frac{2}{3}$, а значит $FH \parallel CD$. Так как $EG \parallel CD$ по построению и $FH \parallel CD$, то $EG \parallel FH$. Поскольку противоположные стороны четырёхугольника $EFHG$ попарно параллельны, он является параллелограммом.

Нахождение периметра сечения

Периметр параллелограмма $EFHG$ вычисляется по формуле $P = 2(EF + EG)$. Найдём длины сторон $EF$ и $EG$.

1. Из подобия треугольников $\triangle CEF$ и $\triangle CBA$ (так как $EF \parallel AB$):
$\frac{EF}{AB} = \frac{CE}{CB} = \frac{1}{3}$
$EF = \frac{1}{3} AB = \frac{1}{3} \cdot 18 = 6$ см.

2. Из подобия треугольников $\triangle BEG$ и $\triangle BCD$ (так как $EG \parallel CD$):
$\frac{EG}{CD} = \frac{BE}{BC} = \frac{2}{3}$
$EG = \frac{2}{3} CD = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ см.

3. Теперь можем найти периметр сечения:
$P = 2(EF + EG) = 2(6 + 8) = 2 \cdot 14 = 28$ см.

Ответ: 28 см.