Номер 28, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 28, страница 48.

Условие.

5.28. Докажите, что через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть даны две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$. Требуется доказать, что через каждую из них проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна. Докажем это утверждение для прямой $a$. Доказательство для прямой $b$ будет аналогичным.

Доказательство разбивается на две части: доказательство существования такой плоскости и доказательство её единственности.

Доказательство существования

1. Выберем на прямой $a$ произвольную точку $M$.
2. Через точку $M$ проведём прямую $b'$, параллельную прямой $b$. Согласно аксиоме о параллельных прямых, такая прямая существует и единственна.
3. Прямые $a$ и $b'$ пересекаются в точке $M$. Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha$.
4. По построению, прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), так как она является одной из прямых, определяющих эту плоскость.
5. Докажем, что плоскость $\alpha$ параллельна прямой $b$. Прямая $b$ не лежит в плоскости $\alpha$. Действительно, если предположить, что $b \subset \alpha$, то так как $b' \subset \alpha$ и $b' \parallel b$, прямая $a$, которая пересекает $b'$ в точке $M$, должна была бы пересекать и параллельную ей прямую $b$. Но это противоречит условию, что прямые $a$ и $b$ скрещиваются. Следовательно, $b \not\subset \alpha$.
6. Согласно признаку параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. В нашем случае прямая $b$ не лежит в плоскости $\alpha$ и параллельна прямой $b'$, которая лежит в плоскости $\alpha$ ($b' \subset \alpha$). Следовательно, $b \parallel \alpha$.
Таким образом, мы построили плоскость $\alpha$, которая проходит через прямую $a$ и параллельна прямой $b$. Существование доказано.

Доказательство единственности

1. Предположим, что существует другая плоскость $\beta$, отличная от $\alpha$ ($\beta \neq \alpha$), которая также проходит через прямую $a$ ($a \subset \beta$) и параллельна прямой $b$ ($b \parallel \beta$).
2. Так как $a \subset \beta$, то любая точка прямой $a$ принадлежит и плоскости $\beta$. В частности, точка $M$ (через которую мы проводили прямую $b'$) лежит в плоскости $\beta$ ($M \in \beta$).
3. Итак, у нас есть плоскость $\beta$, точка $M \in \beta$ и прямая $b$, параллельная плоскости $\beta$. Через точку $M$ проведена прямая $b'$, параллельная прямой $b$.
4. Докажем, что прямая $b'$ должна лежать в плоскости $\beta$. Рассмотрим плоскость $\gamma$, заданную параллельными прямыми $b$ и $b'$. Эта плоскость пересекает плоскость $\beta$, так как у них есть общая точка $M$. Линия их пересечения $l$ проходит через точку $M$. По теореме о линии пересечения двух плоскостей, одна из которых параллельна некоторой прямой, лежащей в другой плоскости, линия пересечения $l$ параллельна прямой $b$. Таким образом, в плоскости $\gamma$ через точку $M$ проходят две прямые ($b'$ и $l$), параллельные прямой $b$. По аксиоме о параллельных прямых, эти прямые должны совпадать: $l = b'$. Поскольку $l \subset \beta$, то и $b' \subset \beta$.
5. Следовательно, плоскость $\beta$ содержит обе пересекающиеся прямые $a$ и $b'$.
6. Но через две пересекающиеся прямые проходит только одна плоскость. Это означает, что плоскость $\beta$ совпадает с плоскостью $\alpha$, которая была построена на прямых $a$ и $b'$.
7. Полученное равенство $\beta = \alpha$ противоречит нашему первоначальному предположению, что $\beta \neq \alpha$. Следовательно, наше предположение было неверным, и такая плоскость может быть только одна.
Единственность доказана.

Мы доказали, что через прямую $a$ проходит единственная плоскость, параллельная прямой $b$. Так как в условии прямые $a$ и $b$ равноправны, аналогичное доказательство справедливо и для прямой $b$. Таким образом, утверждение задачи полностью доказано.
Ответ: Утверждение доказано.