Страница 48 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.20. Точка $E$ – середина ребра $AD$ тетраэдра $DABC$ (рис. 5.21). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки $B$ и $E$ и параллельной прямой $AC$. Вычислите периметр сечения, если каждое ребро тетраэдра равно $4$ см.

Рис. 5.21

Построение сечения
Пусть $\alpha$ — искомая плоскость сечения.
1. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точку $E$ и параллельна прямой $AC$. Плоскость грани $ADC$ содержит прямую $AC$. Следовательно, плоскость $\alpha$ пересекает плоскость $ADC$ по прямой, параллельной $AC$. Проведем в плоскости грани $ADC$ через точку $E$ прямую, параллельную $AC$. Пусть эта прямая пересекает ребро $DC$ в точке $F$. Таким образом, отрезок $EF$ — одна из сторон сечения, причем $EF \parallel AC$.
2. Так как $E$ — середина ребра $AD$ и $EF \parallel AC$, то по теореме Фалеса (или по свойству средней линии треугольника) $F$ является серединой ребра $DC$.
3. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точки $B$ и $E$. Значит, она содержит и отрезок $BE$.
4. Так как точки $B$ и $F$ принадлежат плоскости $\alpha$, то отрезок $BF$ также принадлежит этой плоскости.
5. Таким образом, сечением тетраэдра является треугольник $BEF$.
Ответ: Искомое сечение — треугольник BEF, где F — середина ребра DC.

Вычисление периметра сечения
Периметр сечения $P_{BEF}$ равен сумме длин его сторон: $P_{BEF} = BE + EF + FB$.
По условию, все ребра тетраэдра равны 4 см. Это означает, что тетраэдр правильный, и все его грани — равносторонние треугольники со стороной 4 см.
1. Найдем длину стороны EF.
В треугольнике $ADC$ отрезок $EF$ является средней линией, так как $E$ — середина $AD$ и $F$ — середина $DC$. Длина средней линии равна половине длины основания, которому она параллельна.
$EF = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.
2. Найдем длину стороны BE.
Рассмотрим грань $DAB$. Это равносторонний треугольник со стороной 4 см. $E$ — середина стороны $AD$. Отрезок $BE$ является медианой этого треугольника. Длину медианы равностороннего треугольника со стороной $a$ можно найти по формуле $m = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$BE = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.
Либо можно найти $BE$ по теореме косинусов для треугольника $ABE$, где $AB = 4$ см, $AE = \frac{1}{2}AD = 2$ см, а угол $\angle BAE = 60^\circ$.
$BE^2 = AB^2 + AE^2 - 2 \cdot AB \cdot AE \cdot \cos(60^\circ) = 4^2 + 2^2 - 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 16 + 4 - 8 = 12$.
$BE = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см.
3. Найдем длину стороны FB.
Рассмотрим грань $DCB$. Это также равносторонний треугольник со стороной 4 см. $F$ — середина стороны $DC$. Отрезок $FB$ является медианой этого треугольника. Треугольники $DAB$ и $DCB$ равны, следовательно, их медианы, проведенные из вершины $B$, также равны.
$FB = BE = 2\sqrt{3}$ см.
4. Вычислим периметр.
$P_{BEF} = BE + EF + FB = 2\sqrt{3} + 2 + 2\sqrt{3} = 2 + 4\sqrt{3}$ см.
Ответ: $2 + 4\sqrt{3}$ см.

5.21. Точка $M$ принадлежит ребру $AA_1$ призмы $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 5.22). Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки $M$ и $C_1$ и параллельной прямой $AB$.

Рис. 5.22

Пусть $\alpha$ — искомая плоскость сечения. По условию задачи, плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $C_1$ и параллельна прямой $AB$.

Построение сечения осуществляется в несколько шагов:

1. Рассмотрим грань $AA_1B_1B$. Плоскость этой грани содержит прямую $AB$. Секущая плоскость $\alpha$ по условию параллельна прямой $AB$. Точка $M$ принадлежит как секущей плоскости $\alpha$, так и грани $AA_1B_1B$. Согласно свойству, если плоскость ($\alpha$) проходит через точку ($M$), не лежащую на данной прямой ($AB$), и параллельна этой прямой, то линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью, содержащей точку $M$ и прямую $AB$ (в данном случае это плоскость $AA_1B_1B$), будет прямой, проходящей через точку $M$ и параллельной прямой $AB$.
   Следовательно, в плоскости грани $AA_1B_1B$ проведем прямую через точку $M$ параллельно $AB$. Эта прямая пересечет ребро $BB_1$ в точке, которую мы назовем $K$. Отрезок $MK$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $AA_1B_1B$. Таким образом, по построению $MK \parallel AB$.
2. Теперь мы знаем три точки, принадлежащие секущей плоскости: $M$, $K$ и $C_1$. Соединим их отрезками для нахождения остальных сторон сечения.
3. Точки $M$ и $C_1$ лежат в плоскости грани $AA_1C_1C$ (так как $M \in AA_1$ и $C_1$ является вершиной этой грани). Следовательно, отрезок $MC_1$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $AA_1C_1C$.
4. Аналогично, точки $K$ и $C_1$ лежат в плоскости грани $BB_1C_1C$ (так как $K \in BB_1$ и $C_1$ является вершиной этой грани). Следовательно, отрезок $KC_1$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $BB_1C_1C$.

В результате построения мы получили замкнутый многоугольник — треугольник $MKC_1$, вершины которого лежат на ребрах призмы (или являются ее вершинами), а стороны являются линиями пересечения секущей плоскости с гранями призмы.

Проверим, удовлетворяет ли плоскость треугольника $MKC_1$ условиям задачи:

• Она проходит через точку $M$ по построению.
• Она проходит через точку $C_1$ по построению.
• Она параллельна прямой $AB$, так как содержит прямую $MK$, которая по построению параллельна $AB$ (по признаку параллельности прямой и плоскости).

Все условия выполнены, следовательно, треугольник $MKC_1$ — искомое сечение.

Ответ: Искомое сечение — это треугольник $MKC_1$, где точка $K$ является точкой пересечения прямой, проведенной через точку $M$ параллельно $AB$, с ребром $BB_1$.

5.22. Точки E и F – середины соответственно рёбер AB и BC куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 5.23). Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки E и F и параллельной прямой $DD_1$. Вычислите периметр сечения, если ребро куба равно $a$.

Рис. 5.21

Рис. 5.22

Рис. 5.23

Построение сечения куба плоскостью, проходящей через точки E и F и параллельной прямой $DD_1$.

Точки $E$ и $F$ являются серединами ребер $AB$ и $BC$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ соответственно. Плоскость сечения проходит через эти две точки.

Условие параллельности плоскости сечения прямой $DD_1$ (которая является вертикальным ребром куба, перпендикулярным плоскости основания $ABCD$) означает, что сечение будет "вертикальным". То есть, если точка $X$ лежит в плоскости сечения и на нижней грани куба, то точка $X_1$, расположенная вертикально над $X$ на верхней грани, также будет принадлежать плоскости сечения.

1. Находим точки $E$ и $F$ как середины ребер $AB$ и $BC$ соответственно.

2. Проводим из точки $E$ прямую, параллельную $DD_1$, до пересечения с верхней гранью $A_1B_1C_1D_1$. Эта точка пересечения $E_1$ будет серединой ребра $A_1B_1$.

3. Аналогично, проводим из точки $F$ прямую, параллельную $DD_1$, до пересечения с верхней гранью $A_1B_1C_1D_1$. Эта точка пересечения $F_1$ будет серединой ребра $B_1C_1$.

4. Соединяем найденные точки: $E$, $F$, $F_1$, $E_1$. Полученный четырехугольник $EFF_1E_1$ является искомым сечением.

Поскольку отрезки $EE_1$ и $FF_1$ параллельны ребру $DD_1$, они перпендикулярны плоскостям основания $ABCD$ и верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Следовательно, $EE_1 \perp EF$ и $FF_1 \perp EF$. Это означает, что сечение $EFF_1E_1$ является прямоугольником.

Ответ: Сечение представляет собой прямоугольник $EFF_1E_1$, где $E_1$ — середина ребра $A_1B_1$, а $F_1$ — середина ребра $B_1C_1$.

Вычисление периметра сечения, если ребро куба равно $a$.

Сечение $EFF_1E_1$ является прямоугольником. Для вычисления его периметра необходимо найти длины двух его смежных сторон, например, $EE_1$ и $EF$.

1. Длина стороны $EE_1$.

Отрезок $EE_1$ является высотой куба, так как он параллелен ребру $DD_1$. Следовательно, его длина равна ребру куба: $EE_1 = a$.

2. Длина стороны $EF$.

Точки $E$ и $F$ — середины ребер $AB$ и $BC$ соответственно. Рассмотрим треугольник $EBF$. Это прямоугольный треугольник, так как ребра куба перпендикулярны ($ \angle B = 90^\circ $).

Длины катетов $EB$ и $BF$ равны половине длины ребра куба: $EB = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2}$ $BF = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2}$

По теореме Пифагора, длина гипотенузы $EF$: $EF = \sqrt{EB^2 + BF^2}$ $EF = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}$ $EF = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}}$ $EF = \sqrt{\frac{2a^2}{4}}$ $EF = \sqrt{\frac{a^2}{2}}$ $EF = \frac{a}{\sqrt{2}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $: $EF = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

3. Периметр прямоугольника $EFF_1E_1$.

Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме его смежных сторон: $P = 2 \cdot (EE_1 + EF)$ $P = 2 \cdot \left(a + \frac{a\sqrt{2}}{2}\right)$ $P = 2a + 2 \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}$ $P = 2a + a\sqrt{2}$

Ответ: Периметр сечения равен $2a + a\sqrt{2}$.

5.23. Дан тетраэдр $DABC$. Плоскость $\alpha$ проходит через прямую $CD$ и параллельна прямой $AB$. Постройте линию пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости $ABC$.

Обозначим искомую линию пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости $ABC$ как прямую $l$.

По определению, линия пересечения двух плоскостей — это прямая, все точки которой принадлежат обеим этим плоскостям.

1. По условию задачи, плоскость $\alpha$ проходит через прямую $CD$. Это значит, что точка $C$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($C \in \alpha$).

2. Точка $C$ также является вершиной тетраэдра и принадлежит плоскости основания $ABC$ ($C \in (ABC)$).

3. Из пунктов 1 и 2 следует, что точка $C$ принадлежит обеим плоскостям, а значит, лежит на их линии пересечения $l$ ($C \in l$).

4. По условию задачи, плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AB$ ($AB \parallel \alpha$). При этом прямая $AB$ лежит в плоскости $ABC$ ($AB \subset (ABC)$).

5. Применим теорему о линии пересечения плоскостей: если плоскость ($ABC$) проходит через прямую ($AB$), параллельную другой плоскости ($\alpha$), и пересекает эту плоскость, то линия их пересечения ($l$) параллельна данной прямой ($AB$).

Следовательно, искомая прямая $l$ проходит через точку $C$ и параллельна прямой $AB$.

Построение: В плоскости $ABC$ через точку $C$ проводим прямую $l$, параллельную прямой $AB$. Эта прямая и является искомой линией пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости $ABC$.

Ответ: Искомая линия пересечения — это прямая, проходящая через точку $C$ и параллельная прямой $AB$.

5.24. Точка $M$ не принадлежит плоскости параллелограмма $ABCD$. Постройте линию пересечения плоскостей $AMB$ и $CMD$.

Обозначим плоскости $AMB$ и $CMD$ как $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Нам необходимо построить линию пересечения этих плоскостей.

1. Для того чтобы найти прямую, по которой пересекаются две плоскости, достаточно определить две общие для них точки или одну общую точку и направление этой прямой.

2. По определению, точка $M$ принадлежит как плоскости $AMB$, так и плоскости $CMD$. Следовательно, точка $M$ является общей точкой для плоскостей $\alpha$ и $\beta$ и, значит, лежит на их линии пересечения.

3. Рассмотрим прямые $AB$ и $CD$. Прямая $AB$ лежит в плоскости $\alpha$ ($AB \subset \alpha$), а прямая $CD$ лежит в плоскости $\beta$ ($CD \subset \beta$).

4. По условию задачи, $ABCD$ — параллелограмм. Из свойства параллелограмма известно, что его противоположные стороны параллельны. Таким образом, $AB \parallel CD$.

5. Воспользуемся теоремой из стереометрии: если две пересекающиеся плоскости содержат две параллельные прямые, то линия их пересечения параллельна этим прямым.

Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются (у них есть общая точка $M$) и содержат параллельные прямые $AB$ и $CD$ соответственно, то линия их пересечения, обозначим ее $l$, будет параллельна этим прямым. То есть, $l \parallel AB$ и $l \parallel CD$.

6. Таким образом, мы определили, что искомая линия пересечения проходит через точку $M$ и параллельна прямой $AB$.

Построение:
Через точку $M$ проводим прямую $l$, параллельную прямой $AB$. Эта прямая и является искомой линией пересечения плоскостей $AMB$ и $CMD$.

Ответ: Линия пересечения плоскостей $AMB$ и $CMD$ — это прямая, проходящая через точку $M$ параллельно прямой $AB$.

5.25. Точки $E$, $F$, $M$ и $K$ – середины соответственно рёбер $AB$, $BC$, $AD$ и $CD$ тетраэдра $DABC$. Докажите, что отрезки $MF$ и $KE$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим четырехугольник EFKM. Мы докажем, что этот четырехугольник является параллелограммом. Отрезки MF и KE являются его диагоналями, а у параллелограмма диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

1. Рассмотрим грань тетраэдра — треугольник ABC. По условию задачи, E — середина ребра AB, а F — середина ребра BC. Отрезок EF, соединяющий середины двух сторон треугольника, является его средней линией. Согласно свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Следовательно, $EF \parallel AC$ и $EF = \frac{1}{2} AC$.

2. Теперь рассмотрим грань тетраэдра — треугольник ADC. По условию, M — середина ребра AD, а K — середина ребра CD. Аналогично предыдущему пункту, отрезок MK является средней линией треугольника ADC. Следовательно, $MK \parallel AC$ и $MK = \frac{1}{2} AC$.

3. Сравним отрезки EF и MK. Из пунктов 1 и 2 мы получили:

• $EF \parallel AC$ и $MK \parallel AC$. Так как две прямые параллельны третьей, они параллельны между собой. Значит, $EF \parallel MK$.
• $EF = \frac{1}{2} AC$ и $MK = \frac{1}{2} AC$. Значит, длины отрезков равны: $EF = MK$.

4. Мы имеем четырехугольник EFKM, в котором две противолежащие стороны (EF и MK) одновременно и параллельны, и равны. По признаку параллелограмма, такой четырехугольник является параллелограммом.

5. Отрезки MF и KE являются диагоналями параллелограмма EFKM. По свойству диагоналей параллелограмма, они пересекаются в одной точке и этой точкой делятся пополам.

Таким образом, доказано, что отрезки MF и KE пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Ответ: Что и требовалось доказать.

5.26. Прямая $a$ принадлежит плоскости $\alpha$, прямая $b$ – плоскости $\beta$, прямая $c$ – линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Докажите, что если прямая $c$ не пересекает ни одну из прямых $a$ и $b$, то $a \parallel b$.

Дано:

• Прямая $a$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).
• Прямая $b$ принадлежит плоскости $\beta$ ($b \subset \beta$).
• Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$ ($c = \alpha \cap \beta$).
• Прямая $c$ не пересекает прямую $a$ ($c \cap a = \emptyset$).
• Прямая $c$ не пересекает прямую $b$ ($c \cap b = \emptyset$).

Доказать:

$a \parallel b$.

Доказательство:

1. Рассмотрим прямые $a$ и $c$. По условию, прямая $a \subset \alpha$. Так как прямая $c$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, то $c \subset \alpha$. Следовательно, обе прямые, $a$ и $c$, лежат в одной плоскости $\alpha$.

По условию, прямые $a$ и $c$ не пересекаются. Согласно определению, две прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек, являются параллельными. Отсюда следует, что $a \parallel c$.

2. Аналогично рассмотрим прямые $b$ и $c$. По условию, прямая $b \subset \beta$. Прямая $c$ также принадлежит плоскости $\beta$ ($c \subset \beta$). Таким образом, обе прямые, $b$ и $c$, лежат в одной плоскости $\beta$.

По условию, прямые $b$ и $c$ не пересекаются. Следовательно, $b \parallel c$.

3. Из пунктов 1 и 2 мы получили, что $a \parallel c$ и $b \parallel c$. Согласно теореме о параллельности прямых в пространстве (свойство транзитивности): если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Таким образом, из того, что $a \parallel c$ и $b \parallel c$, следует, что $a \parallel b$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

5.27. Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$. Через точку $M$, лежащую в плоскости $\alpha$, проведена прямая $b$, параллельная прямой $a$. Докажите, что прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Дано:
Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$).
Точка $M$ лежит в плоскости $\alpha$ ($M \in \alpha$).
Через точку $M$ проведена прямая $b$, параллельная прямой $a$ ($b \parallel a$).

Доказать:
Прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).

Доказательство:

Предположим, что прямая $b$ не лежит в плоскости $\alpha$.

Поскольку прямые $a$ и $b$ параллельны по условию ($a \parallel b$), то согласно теореме о существовании плоскости, проходящей через две параллельные прямые, существует единственная плоскость $\beta$, содержащая обе эти прямые. Таким образом, $a \subset \beta$ и $b \subset \beta$.

Точка $M$ принадлежит прямой $b$ ($M \in b$), а прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$, следовательно, точка $M$ также принадлежит плоскости $\beta$ ($M \in \beta$). По условию, точка $M$ принадлежит и плоскости $\alpha$ ($M \in \alpha$).

Это означает, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $M$. По аксиоме, если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Обозначим эту прямую пересечения как $c$. Итак, $c = \alpha \cap \beta$ и $M \in c$.

Теперь рассмотрим теорему о линии пересечения двух плоскостей. Если плоскость ($\beta$) проходит через прямую ($a$), параллельную другой плоскости ($\alpha$), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения ($c$) параллельна данной прямой ($a$). В нашем случае все условия теоремы выполнены: плоскость $\beta$ проходит через прямую $a$, и $a \parallel \alpha$. Следовательно, $c \parallel a$.

Таким образом, мы установили, что через точку $M$ проходят две прямые: $b$ и $c$. При этом обе эти прямые параллельны одной и той же прямой $a$:
1. $b \parallel a$ (по условию задачи).
2. $c \parallel a$ (по доказанному выше).

Согласно аксиоме параллельных прямых в пространстве, через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Отсюда следует, что прямые $b$ и $c$ должны совпадать ($b \equiv c$).

Прямая $c$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, поэтому она целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$).

Поскольку $b \equiv c$ и $c \subset \alpha$, то и прямая $b$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).

Полученное заключение противоречит нашему первоначальному предположению о том, что прямая $b$ не лежит в плоскости $\alpha$. Следовательно, наше предположение было неверным, а доказываемое утверждение истинно.

Ответ: Прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$, что и требовалось доказать.

5.28. Докажите, что через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Пусть даны две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$. Требуется доказать, что через каждую из них проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна. Докажем это утверждение для прямой $a$. Доказательство для прямой $b$ будет аналогичным.

Доказательство разбивается на две части: доказательство существования такой плоскости и доказательство её единственности.

Доказательство существования

1. Выберем на прямой $a$ произвольную точку $M$.
2. Через точку $M$ проведём прямую $b'$, параллельную прямой $b$. Согласно аксиоме о параллельных прямых, такая прямая существует и единственна.
3. Прямые $a$ и $b'$ пересекаются в точке $M$. Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha$.
4. По построению, прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), так как она является одной из прямых, определяющих эту плоскость.
5. Докажем, что плоскость $\alpha$ параллельна прямой $b$. Прямая $b$ не лежит в плоскости $\alpha$. Действительно, если предположить, что $b \subset \alpha$, то так как $b' \subset \alpha$ и $b' \parallel b$, прямая $a$, которая пересекает $b'$ в точке $M$, должна была бы пересекать и параллельную ей прямую $b$. Но это противоречит условию, что прямые $a$ и $b$ скрещиваются. Следовательно, $b \not\subset \alpha$.
6. Согласно признаку параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. В нашем случае прямая $b$ не лежит в плоскости $\alpha$ и параллельна прямой $b'$, которая лежит в плоскости $\alpha$ ($b' \subset \alpha$). Следовательно, $b \parallel \alpha$.
Таким образом, мы построили плоскость $\alpha$, которая проходит через прямую $a$ и параллельна прямой $b$. Существование доказано.

Доказательство единственности

1. Предположим, что существует другая плоскость $\beta$, отличная от $\alpha$ ($\beta \neq \alpha$), которая также проходит через прямую $a$ ($a \subset \beta$) и параллельна прямой $b$ ($b \parallel \beta$).
2. Так как $a \subset \beta$, то любая точка прямой $a$ принадлежит и плоскости $\beta$. В частности, точка $M$ (через которую мы проводили прямую $b'$) лежит в плоскости $\beta$ ($M \in \beta$).
3. Итак, у нас есть плоскость $\beta$, точка $M \in \beta$ и прямая $b$, параллельная плоскости $\beta$. Через точку $M$ проведена прямая $b'$, параллельная прямой $b$.
4. Докажем, что прямая $b'$ должна лежать в плоскости $\beta$. Рассмотрим плоскость $\gamma$, заданную параллельными прямыми $b$ и $b'$. Эта плоскость пересекает плоскость $\beta$, так как у них есть общая точка $M$. Линия их пересечения $l$ проходит через точку $M$. По теореме о линии пересечения двух плоскостей, одна из которых параллельна некоторой прямой, лежащей в другой плоскости, линия пересечения $l$ параллельна прямой $b$. Таким образом, в плоскости $\gamma$ через точку $M$ проходят две прямые ($b'$ и $l$), параллельные прямой $b$. По аксиоме о параллельных прямых, эти прямые должны совпадать: $l = b'$. Поскольку $l \subset \beta$, то и $b' \subset \beta$.
5. Следовательно, плоскость $\beta$ содержит обе пересекающиеся прямые $a$ и $b'$.
6. Но через две пересекающиеся прямые проходит только одна плоскость. Это означает, что плоскость $\beta$ совпадает с плоскостью $\alpha$, которая была построена на прямых $a$ и $b'$.
7. Полученное равенство $\beta = \alpha$ противоречит нашему первоначальному предположению, что $\beta \neq \alpha$. Следовательно, наше предположение было неверным, и такая плоскость может быть только одна.
Единственность доказана.

Мы доказали, что через прямую $a$ проходит единственная плоскость, параллельная прямой $b$. Так как в условии прямые $a$ и $b$ равноправны, аналогичное доказательство справедливо и для прямой $b$. Таким образом, утверждение задачи полностью доказано.
Ответ: Утверждение доказано.