Страница 55 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какие плоскости называют параллельными?

Две плоскости в пространстве называются параллельными, если они не имеют ни одной общей точки. Иными словами, параллельные плоскости — это плоскости, которые не пересекаются, как бы далеко в пространстве мы их ни продолжали.

Взаимное расположение двух различных плоскостей в трехмерном пространстве может быть только двух видов:

• Плоскости пересекаются по прямой линии.
• Плоскости не пересекаются, то есть являются параллельными.

Иногда к случаю параллельных плоскостей относят и совпадающие плоскости, но в стандартном определении под параллельными понимают именно различные плоскости, не имеющие общих точек.

Для обозначения параллельности плоскостей, например, плоскости $\alpha$ и плоскости $\beta$, используется специальный символ: $\alpha \parallel \beta$. Условие отсутствия у них общих точек можно записать с помощью теории множеств как $\alpha \cap \beta = \emptyset$, где $\emptyset$ обозначает пустое множество.

Наглядным примером параллельных плоскостей в повседневной жизни могут служить плоскости пола и потолка в комнате, поверхности противоположных стен или полки в книжном шкафу.

Ответ: Параллельными называют плоскости, которые не имеют общих точек (не пересекаются).

2. Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей.

Признак параллельности двух плоскостей формулируется следующим образом: если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Рассмотрим это утверждение более подробно на примере двух плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Пусть в плоскости $\alpha$ существуют две прямые $a$ и $b$, которые пересекаются в точке $M$. Это можно записать так: $a \subset \alpha$, $b \subset \alpha$, и $a \cap b = M$.

Пусть в плоскости $\beta$ существуют две прямые $a_1$ и $b_1$ ($a_1 \subset \beta$, $b_1 \subset \beta$).

Если известно, что прямая $a$ параллельна прямой $a_1$ ($a \parallel a_1$), а прямая $b$ параллельна прямой $b_1$ ($b \parallel b_1$), то на основании признака параллельности плоскостей можно сделать вывод, что плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$ ($\alpha \parallel \beta$).

Ключевым моментом в условии является то, что прямые $a$ и $b$ должны пересекаться. Именно это гарантирует, что они однозначно задают плоскость $\alpha$ и что плоскости не совпадут и не пересекутся.

Ответ: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

...формулируйте признак параллельности двух плоскостей.

3. В каких случаях говорят, что два многоугольника параллельны?

Два многоугольника в пространстве называются параллельными, если они лежат в параллельных плоскостях.

Рассмотрим это определение подробнее. Пусть даны два многоугольника, $M_1$ и $M_2$. Для того чтобы они были параллельны, должно выполняться следующее условие: многоугольник $M_1$ должен полностью принадлежать некоторой плоскости $\alpha$, а многоугольник $M_2$ должен полностью принадлежать некоторой плоскости $\beta$, причем эти плоскости должны быть параллельны друг другу (что обозначается как $\alpha \parallel \beta$).

Две различные плоскости в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются, то есть не имеют ни одной общей точки. По определению, любая плоскость также считается параллельной самой себе. Следовательно, два многоугольника, лежащие в одной и той же плоскости, также могут считаться параллельными. Однако чаще всего этот термин применяют к многоугольникам, которые лежат в разных, но параллельных плоскостях.

Классическим примером параллельных многоугольников являются основания призмы или усеченной пирамиды. Например, в прямой шестиугольной призме ее основания — это два равных шестиугольника, которые лежат в параллельных плоскостях и, следовательно, параллельны друг другу.

В некоторых частных случаях под параллельностью многоугольников могут подразумеваться и более строгие условия. Например, если один многоугольник получен из другого параллельным переносом, то они не только лежат в параллельных плоскостях, но и равны, а их соответствующие стороны попарно параллельны. Если один многоугольник является результатом гомотетии другого, их соответственные стороны также будут параллельны. Тем не менее, в общем определении стереометрии единственным необходимым и достаточным условием является параллельность плоскостей, в которых лежат многоугольники.

Ответ: Два многоугольника называют параллельными, если они лежат в параллельных плоскостях.

4. Сформулируйте теоремы, выражающие свойства параллельных плоскостей.

Свойствами параллельных плоскостей называют утверждения, которые следуют из того, что две плоскости параллельны. Основные свойства выражаются в следующих теоремах.

Свойство 1. О пересечении параллельных плоскостей секущей плоскостью

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.

Пусть даны две параллельные плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ ($ \alpha \parallel \beta $) и третья плоскость $ \gamma $, которая пересекает плоскость $ \alpha $ по прямой $ a $ и плоскость $ \beta $ по прямой $ b $. Прямые $ a $ и $ b $ лежат в одной плоскости $ \gamma $. Они не могут пересечься, так как если бы у них была общая точка, то она принадлежала бы обеим плоскостям $ \alpha $ и $ \beta $, что противоречит условию их параллельности. Поскольку прямые $ a $ и $ b $ лежат в одной плоскости и не пересекаются, они параллельны.

Ответ: Если $ \alpha \parallel \beta $, $ \alpha \cap \gamma = a $, $ \beta \cap \gamma = b $, то $ a \parallel b $.

Свойство 2. Об отрезках параллельных прямых

Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны.

Пусть плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ параллельны. Параллельные прямые $ a $ и $ b $ пересекают плоскость $ \alpha $ в точках $ A_1 $ и $ B_1 $, а плоскость $ \beta $ в точках $ A_2 $ и $ B_2 $ соответственно. Рассмотрим четырехугольник $ A_1B_1B_2A_2 $. Его противоположные стороны $ A_1A_2 $ и $ B_1B_2 $ лежат на параллельных прямых $ a $ и $ b $. Его стороны $ A_1B_1 $ и $ A_2B_2 $ являются линиями пересечения плоскости, проходящей через прямые $ a $ и $ b $, с параллельными плоскостями $ \alpha $ и $ \beta $. По свойству 1, $ A_1B_1 \parallel A_2B_2 $. Таким образом, $ A_1B_1B_2A_2 $ — параллелограмм, а у параллелограмма противоположные стороны равны, следовательно, $ A_1A_2 = B_1B_2 $.

Ответ: Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны по длине.

Свойство 3. О прямой, перпендикулярной к параллельным плоскостям

Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и второй плоскости.

Пусть плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ параллельны ($ \alpha \parallel \beta $) и прямая $ c $ перпендикулярна плоскости $ \alpha $ ($ c \perp \alpha $). Так как $ c \perp \alpha $, то прямая $ c $ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $ \alpha $. Проведем через прямую $ c $ две произвольные плоскости. Они пересекут $ \alpha $ по прямым $ a_1 $ и $ a_2 $, а плоскость $ \beta $ — по прямым $ b_1 $ и $ b_2 $. По свойству 1, $ a_1 \parallel b_1 $ и $ a_2 \parallel b_2 $. Из $ c \perp a_1 $ и $ c \perp a_2 $ следует, что $ c \perp b_1 $ и $ c \perp b_2 $. Поскольку прямая $ c $ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($ b_1 $ и $ b_2 $) в плоскости $ \beta $, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, $ c \perp \beta $.

Ответ: Если $ \alpha \parallel \beta $ и $ c \perp \alpha $, то $ c \perp \beta $.

Свойство 4. О транзитивности параллельности плоскостей

Две плоскости, параллельные третьей плоскости, параллельны между собой.

Пусть плоскость $ \alpha $ параллельна плоскости $ \gamma $ ($ \alpha \parallel \gamma $) и плоскость $ \beta $ также параллельна плоскости $ \gamma $ ($ \beta \parallel \gamma $). Докажем от противного: предположим, что плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ пересекаются по некоторой прямой $ c $. Тогда через любую точку на прямой $ c $ проходят две различные плоскости ($ \alpha $ и $ \beta $), параллельные плоскости $ \gamma $. Это противоречит теореме о том, что через точку вне данной плоскости можно провести только одну плоскость, параллельную данной. Следовательно, наше предположение неверно, и плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ не пересекаются, то есть они параллельны.

Ответ: Если $ \alpha \parallel \gamma $ и $ \beta \parallel \gamma $, то $ \alpha \parallel \beta $.

6.1. Верно ли утверждение:

1) если две плоскости параллельны, то любая прямая одной плоскости параллельна любой прямой другой плоскости;

2) если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна прямой другой плоскости, то данные плоскости параллельны;

3) если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны соответственно двум прямым, лежащим в другой плоскости, то данные плоскости параллельны?

Рис. 6.11

1) если две плоскости параллельны, то любая прямая одной плоскости параллельна любой прямой другой плоскости;

Данное утверждение неверно. Рассмотрим две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Пусть прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), а прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$ ($b \subset \beta$). Прямые $a$ и $b$ могут быть не только параллельными, но и скрещивающимися.

Приведём контрпример. Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскость верхнего основания $(A_1B_1C_1)$ параллельна плоскости нижнего основания $(ABC)$. Прямая $A_1B_1$ принадлежит плоскости $(A_1B_1C_1)$, а прямая $AD$ принадлежит плоскости $(ABC)$. Эти прямые не параллельны, а являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Ответ: нет, утверждение неверно.

2) если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна прямой другой плоскости, то данные плоскости параллельны;

Данное утверждение неверно. Пусть прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $b$ — в плоскости $\beta$, и при этом $a \parallel b$. Этого условия недостаточно для параллельности плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Они могут пересекаться.

Приведём контрпример. Возьмём две пересекающиеся плоскости $\alpha$ и $\beta$. Пусть линия их пересечения — прямая $l$. В плоскости $\alpha$ проведём прямую $a$, параллельную прямой $l$. В плоскости $\beta$ проведём прямую $b$, также параллельную прямой $l$. Поскольку $a \parallel l$ и $b \parallel l$, то по свойству транзитивности параллельных прямых в пространстве, прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$). Однако плоскости $\alpha$ и $\beta$ по построению пересекаются, а не параллельны.

Ответ: нет, утверждение неверно.

3) если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны соответственно двум прямым, лежащим в другой плоскости, то данные плоскости параллельны?

Данное утверждение неверно в общем случае, так как оно истинно только при определённом дополнительном условии, которое не указано в формулировке.

Утверждение будет верным, если две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются. Это следует из признака параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Однако, если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны, то утверждение неверно. Приведём контрпример. Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $l$. В плоскости $\alpha$ выберем две различные параллельные прямые $a_1$ и $a_2$, которые также параллельны прямой $l$. В плоскости $\beta$ выберем две различные параллельные прямые $b_1$ и $b_2$, которые также параллельны прямой $l$. Тогда $a_1 \parallel b_1$ (так как обе параллельны $l$) и $a_2 \parallel b_2$ (так как обе параллельны $l$). Таким образом, условие выполнено: две прямые ($a_1, a_2$) в плоскости $\alpha$ параллельны двум прямым ($b_1, b_2$) в плоскости $\beta$. Но при этом плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются.

Поскольку для выполнения общего утверждения оно должно быть истинно во всех случаях, а мы нашли случай, когда оно ложно, то всё утверждение считается неверным.

Ответ: нет, утверждение неверно.

6.2. Параллелограммы $ABCD$ и $AEFD$ не лежат в одной плоскости (рис. 6.11). Докажите, что плоскости $ABE$ и $DCF$ параллельны.

Для доказательства параллельности плоскостей $ABE$ и $DCF$ воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей. Согласно этому признаку, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

1. Рассмотрим плоскость $ABE$. Она задается двумя пересекающимися прямыми $AB$ и $AE$. Точка их пересечения — $A$.

2. Рассмотрим плоскость $DCF$. Она задается двумя пересекающимися прямыми $DC$ и $DF$. Точка их пересечения — $D$.

3. По условию задачи, $ABCD$ является параллелограммом. По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны. Следовательно, прямая $AB$ параллельна прямой $DC$ ($AB \parallel DC$).

4. Также по условию, $AEFD$ является параллелограммом. Следовательно, его противоположные стороны также параллельны, то есть прямая $AE$ параллельна прямой $DF$ ($AE \parallel DF$).

5. Таким образом, мы имеем, что две пересекающиеся прямые $AB$ и $AE$ в плоскости $ABE$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым $DC$ и $DF$ в плоскости $DCF$.

На основании признака параллельности плоскостей, делаем вывод, что плоскость $ABE$ параллельна плоскости $DCF$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что плоскости $ABE$ и $DCF$ параллельны.

6.3. Точки $M$, $N$ и $K$ – середины рёбер $AB$, $AC$ и $AD$ тетраэдра $DABC$. Докажите, что плоскости $MNK$ и $BCD$ параллельны.

Рассмотрим треугольник $ABC$, который является гранью тетраэдра $DABC$. По условию задачи, точки $M$ и $N$ являются серединами рёбер $AB$ и $AC$ соответственно. Это означает, что отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне. Следовательно, $MN \parallel BC$.

Теперь рассмотрим грань $ACD$. По условию, точки $N$ и $K$ являются серединами рёбер $AC$ и $AD$. Таким образом, отрезок $NK$ является средней линией треугольника $ACD$. По тому же свойству, $NK \parallel CD$.

Мы установили, что две прямые $MN$ и $NK$, лежащие в плоскости $(MNK)$ и пересекающиеся в точке $N$, соответственно параллельны двум прямым $BC$ и $CD$, лежащим в плоскости $(BCD)$ и пересекающимся в точке $C$.

Воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Так как найденные нами прямые удовлетворяют условиям этого признака ($MN \parallel BC$ и $NK \parallel CD$), мы можем сделать вывод, что плоскость $(MNK)$ параллельна плоскости $(BCD)$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Параллельность плоскостей $MNK$ и $BCD$ доказана.

6.4. На рёбрах DA, DB и DC тетраэдра DABC отметили соответственно точки E, F и K так, что $\frac{DE}{DA} = \frac{DF}{DB} = \frac{DK}{DC}$. Докажите, что плоскости EFK и ABC параллельны.

Для доказательства параллельности плоскостей $EFK$ и $ABC$ воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Рассмотрим грань тетраэдра $DAB$, которая представляет собой треугольник. По условию, точки $E$ и $F$ лежат на сторонах $DA$ и $DB$ соответственно, и выполняется равенство $\frac{DE}{DA} = \frac{DF}{DB}$. Рассмотрим треугольники $\triangle DEF$ и $\triangle DAB$. Угол $\angle ADB$ у них общий. Так как стороны, образующие этот угол, пропорциональны ($\frac{DE}{DA} = \frac{DF}{DB}$), то треугольники $\triangle DEF$ и $\triangle DAB$ подобны по второму признаку подобия треугольников. Из подобия следует, что соответственные углы равны, в частности $\angle DEF = \angle DAB$. Эти углы являются соответственными при прямых $EF$, $AB$ и секущей $DA$. Следовательно, прямая $EF$ параллельна прямой $AB$.

Теперь рассмотрим грань тетраэдра $DBC$. Точки $F$ и $K$ лежат на сторонах $DB$ и $DC$ соответственно, и из условия следует, что $\frac{DF}{DB} = \frac{DK}{DC}$. Рассматривая треугольники $\triangle DFK$ и $\triangle DBC$, мы видим, что у них общий угол $\angle BDC$, а прилежащие к нему стороны пропорциональны. Следовательно, $\triangle DFK \sim \triangle DBC$ по второму признаку подобия. Из подобия этих треугольников следует параллельность прямых $FK$ и $BC$.

Таким образом, мы имеем:

1. Прямая $EF$ лежит в плоскости $(EFK)$, прямая $AB$ лежит в плоскости $(ABC)$, и $EF \parallel AB$.

2. Прямая $FK$ лежит в плоскости $(EFK)$, прямая $BC$ лежит в плоскости $(ABC)$, и $FK \parallel BC$.

Прямые $EF$ и $FK$ пересекаются в точке $F$ и лежат в плоскости $(EFK)$. Прямые $AB$ и $BC$ пересекаются в точке $B$ и лежат в плоскости $(ABC)$.

Так как две пересекающиеся прямые ($EF$ и $FK$) плоскости $(EFK)$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым ($AB$ и $BC$) плоскости $(ABC)$, то по признаку параллельности плоскостей, плоскость $(EFK)$ параллельна плоскости $(ABC)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

6.5. Две диагонали правильного шестиугольника параллельны плоскости $\alpha$. Можно ли утверждать, что плоскость данного шестиугольника параллельна плоскости $\alpha$?

Утверждать, что плоскость данного шестиугольника параллельна плоскости $α$, в общем случае нельзя. Для доказательства этого рассмотрим все возможные варианты расположения двух диагоналей.

Согласно признаку параллельности двух плоскостей, если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости (назовем ее $β$), соответственно параллельны другой плоскости (плоскости $α$), то эти плоскости параллельны ($β \parallel α$).

Ключевым моментом в этом признаке является то, что прямые должны быть пересекающимися. В правильном шестиугольнике существуют как пересекающиеся, так и параллельные диагонали.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Выбранные диагонали пересекаются.
Пусть дан правильный шестиугольник $ABCDEF$, лежащий в плоскости $β$. Возьмем две пересекающиеся диагонали, например, $AD$ и $BE$. По условию, $AD \parallel α$ и $BE \parallel α$. Так как диагонали $AD$ и $BE$ лежат в плоскости $β$ и пересекаются (в центре шестиугольника), то по признаку параллельности плоскостей, плоскость $β$ параллельна плоскости $α$. В этом случае утверждение было бы верным.

2. Выбранные диагонали параллельны.
В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ есть пары параллельных диагоналей. Например, диагональ $AC$ параллельна диагонали $FD$.
Предположим, что именно эти две диагонали параллельны плоскости $α$, то есть $AC \parallel α$ и $FD \parallel α$.
В этом случае мы не можем применить признак параллельности плоскостей, так как прямые $AC$ и $FD$ не пересекаются.

Можно построить контрпример. Пусть плоскость шестиугольника $β$ пересекает плоскость $α$ по некоторой прямой $l$. Расположим шестиугольник $ABCDEF$ в плоскости $β$ таким образом, чтобы его параллельные диагонали $AC$ и $FD$ были параллельны линии пересечения $l$.
Так как $AC \parallel l$ и $l \subset α$, то $AC \parallel α$.
Аналогично, так как $FD \parallel l$ и $l \subset α$, то $FD \parallel α$.
Таким образом, мы получили ситуацию, когда две диагонали ($AC$ и $FD$) правильного шестиугольника параллельны плоскости $α$, но плоскость шестиугольника $β$ не параллельна плоскости $α$, а пересекает ее.

Поскольку существует хотя бы один случай, когда условие задачи выполняется, а вывод о параллельности плоскостей неверен, общее утверждение сделать нельзя.

Ответ: нет, нельзя.

6.6. Можно ли утверждать, что плоскость $\alpha$ параллельна плоскости трапеции, если плоскость $\alpha$ параллельна:

1) основаниям трапеции;

2) боковым сторонам трапеции?

1) основаниям трапеции

Пусть плоскость трапеции $ABCD$ (где $AD$ и $BC$ — основания) есть плоскость $\beta$. По определению трапеции, ее основания $AD$ и $BC$ являются параллельными прямыми, то есть $AD \parallel BC$.

По условию, плоскость $\alpha$ параллельна основаниям трапеции, то есть $\alpha \parallel AD$ и $\alpha \parallel BC$. Утверждение состоит в том, что из этого следует $\alpha \parallel \beta$.

Признак параллельности плоскостей гласит, что если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны. В данном случае прямые $AD$ и $BC$, которым параллельна плоскость $\alpha$, не пересекаются, а параллельны друг другу. Поэтому данный признак неприменим, и утверждение может быть неверным.

Чтобы это доказать, приведем контрпример. Пусть плоскость трапеции $\beta$ совпадает с координатной плоскостью $Oxy$ (ее уравнение $z=0$). В этой плоскости расположим трапецию с вершинами $A(0,0,0)$, $D(3,0,0)$, $B(1,2,0)$, $C(2,2,0)$. Ее основания $AD$ и $BC$ лежат на прямых, параллельных оси $Ox$.

Теперь рассмотрим плоскость $\alpha$, заданную уравнением $y-z-1=0$. Нормальный вектор этой плоскости $\vec{n}_{\alpha} = (0,1,-1)$. Направляющий вектор оси $Ox$ (и, следовательно, прямых $AD$ и $BC$) — это $\vec{s} = (1,0,0)$. Найдем их скалярное произведение:

$\vec{n}_{\alpha} \cdot \vec{s} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 = 0$

Поскольку скалярное произведение равно нулю, нормальный вектор плоскости перпендикулярен направляющему вектору прямой. Это означает, что плоскость $\alpha$ параллельна оси $Ox$, а значит, она параллельна и основаниям трапеции $AD$ и $BC$.

Однако плоскость $\alpha$ (с уравнением $y-z-1=0$) не параллельна плоскости $\beta$ (с уравнением $z=0$), так как их нормальные векторы $\vec{n}_{\alpha}=(0,1,-1)$ и $\vec{n}_{\beta}=(0,0,1)$ не коллинеарны. Эти плоскости пересекаются по прямой, которая задается системой уравнений $\begin{cases} y-z-1=0 \\ z=0 \end{cases}$, то есть по прямой $y=1, z=0$.

Таким образом, мы нашли плоскость $\alpha$, которая параллельна основаниям трапеции, но не параллельна плоскости самой трапеции. Следовательно, данное утверждение не всегда верно.

Ответ: нет.

2) боковым сторонам трапеции

Пусть плоскость трапеции $ABCD$ есть $\beta$, а ее боковые стороны — $AB$ и $CD$. По определению трапеции, ее боковые стороны не параллельны (иначе это был бы параллелограмм). Поскольку прямые $AB$ и $CD$ лежат в одной плоскости $\beta$ и не параллельны, они являются пересекающимися прямыми (если их продолжить до точки пересечения).

По условию, плоскость $\alpha$ параллельна боковым сторонам трапеции, то есть $\alpha \parallel AB$ и $\alpha \parallel CD$.

Воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей: если плоскость $\alpha$ параллельна двум пересекающимся прямым ($l_1$ и $l_2$), которые лежат в плоскости $\beta$, то плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны.

В нашем случае, прямые $AB$ и $CD$ — это две пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости $\beta$. Плоскость $\alpha$ по условию параллельна каждой из этих прямых. Следовательно, по вышеуказанному признаку, плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$.

Таким образом, если плоскость параллельна боковым сторонам трапеции, то она обязательно параллельна и плоскости трапеции.

Ответ: да.

6.7. Верно ли утверждение:

1) если прямые пересечения двух плоскостей третьей плоскостью параллельны, то данные плоскости параллельны;

2) если отрезки параллельных прямых, заключённые между двумя плоскостями, равны, то данные плоскости параллельны?

1) если прямые пересечения двух плоскостей третьей плоскостью параллельны, то данные плоскости параллельны;

Данное утверждение неверно. Чтобы это доказать, достаточно привести один контрпример.

Пусть две плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$. В этом случае по определению плоскости $\alpha$ и $\beta$ не являются параллельными.

Теперь рассмотрим третью плоскость $\gamma$, которая параллельна прямой $c$ ($\gamma \parallel c$) и пересекает обе плоскости $\alpha$ и $\beta$. Пусть линия пересечения плоскости $\gamma$ с плоскостью $\alpha$ будет прямая $a$, а с плоскостью $\beta$ — прямая $b$.

Воспользуемся теоремой из стереометрии: если плоскость ($\gamma$) пересекает другую плоскость ($\alpha$), и при этом плоскость $\gamma$ параллельна некоторой прямой $c$, лежащей в плоскости $\alpha$, то линия пересечения плоскостей ($a$) параллельна прямой $c$.

Так как $c \subset \alpha$ и $c \parallel \gamma$, то из теоремы следует, что $a \parallel c$.

Аналогично, так как $c \subset \beta$ и $c \parallel \gamma$, то $b \parallel c$.

Поскольку обе прямые $a$ и $b$ параллельны одной и той же прямой $c$, они параллельны между собой: $a \parallel b$.

Таким образом, мы получили ситуацию, когда прямые пересечения ($a$ и $b$) двух плоскостей ($\alpha$ и $\beta$) третьей плоскостью ($\gamma$) параллельны, но сами исходные плоскости $\alpha$ и $\beta$ не параллельны, а пересекаются. Это опровергает исходное утверждение.

Наглядным примером такой ситуации являются две соседние страницы раскрытой книги (плоскости $\alpha$ и $\beta$), которые пересекаются по линии переплета (прямая $c$). Если мы пересечем эти страницы плоскостью ($\gamma$), параллельной переплету, то линии пересечения на страницах ($a$ и $b$) будут параллельны друг другу.

Ответ: утверждение неверно.

2) если отрезки параллельных прямых, заключённые между двумя плоскостями, равны, то данные плоскости параллельны?

Данное утверждение верно. Докажем его методом от противного.

Пусть даны две плоскости $\alpha$ и $\beta$. По условию, для любой пары параллельных прямых, пересекающих эти плоскости, отрезки, заключенные между плоскостями, равны по длине.

Предположим, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ не параллельны. Это означает, что они пересекаются по некоторой прямой $c$.

Выберем на линии пересечения $c$ произвольную точку $A_1$. Так как $A_1 \in c$, точка $A_1$ принадлежит обеим плоскостям: $A_1 \in \alpha$ и $A_1 \in \beta$.

Теперь выберем в плоскости $\alpha$ точку $A_2$, которая не лежит на прямой $c$. Это возможно, поскольку $\alpha$ — это плоскость, а не прямая.

Проведем через точки $A_1$ и $A_2$ две параллельные прямые, назовем их $l_1$ и $l_2$ соответственно ($l_1 \parallel l_2$).

Рассмотрим отрезок прямой $l_1$, заключенный между плоскостями $\alpha$ и $\beta$. Так как $l_1$ проходит через точку $A_1$, которая находится в обеих плоскостях, точка пересечения $l_1$ с $\alpha$ и с $\beta$ совпадает и равна $A_1$. Длина этого отрезка равна нулю.

Рассмотрим отрезок прямой $l_2$, заключенный между плоскостями $\alpha$ и $\beta$. Прямая $l_2$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $A_2$. Пусть она пересекает плоскость $\beta$ в точке $B_2$. Длина искомого отрезка равна длине отрезка $A_2B_2$.

Согласно условию задачи, длины этих отрезков должны быть равны: $|A_2B_2| = 0$.

Нулевая длина отрезка означает, что его концы совпадают, то есть $A_2 = B_2$.

Поскольку $A_2 \in \alpha$ и $B_2 \in \beta$, из равенства $A_2 = B_2$ следует, что точка $A_2$ также принадлежит плоскости $\beta$.

Итак, мы выяснили, что точка $A_2$ принадлежит и плоскости $\alpha$, и плоскости $\beta$. Следовательно, она должна лежать на их линии пересечения $c$.

Это противоречит нашему первоначальному выбору точки $A_2$, которая не лежала на прямой $c$.

Возникшее противоречие доказывает, что наше исходное предположение (о том, что плоскости пересекаются) было неверным. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны.

Ответ: утверждение верно.