Страница 56 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.8. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. В плоскости $\alpha$ выбраны точки $C$ и $D$, а в плоскости $\beta$ – точки $C_1$ и $D_1$, такие, что прямые $CC_1$ и $DD_1$ параллельны. Найдите отрезки $DD_1$ и $C_1D_1$, если $CD = 12$ см, $CC_1 = 4$ см.

По условию задачи даны две параллельные плоскости $α$ и $β$ ($α \parallel β$). В плоскости $α$ лежат точки C и D, а в плоскости $β$ — точки $C_1$ и $D_1$. Прямые $CC_1$ и $DD_1$ параллельны ($CC_1 \parallel DD_1$).

Рассмотрим четырехугольник, образованный точками $C, D, C_1, D_1$.
Две параллельные прямые $CC_1$ и $DD_1$ определяют единственную плоскость, назовем ее $γ$. Все четыре точки $C, D, C_1, D_1$ лежат в этой плоскости $γ$. Таким образом, фигура $CDD_1C_1$ является плоским четырехугольником.

Сторона CD этого четырехугольника лежит в плоскости $α$, а сторона $C_1D_1$ — в плоскости $β$. Так как плоскость $γ$ пересекает две параллельные плоскости $α$ и $β$, то по свойству параллельных плоскостей линии их пересечения (прямые CD и $C_1D_1$) параллельны между собой. То есть, $CD \parallel C_1D_1$.

В четырехугольнике $CDD_1C_1$ мы имеем две пары параллельных противоположных сторон:
1. $CC_1 \parallel DD_1$ (по условию).
2. $CD \parallel C_1D_1$ (по доказанному свойству).

Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Следовательно, $CDD_1C_1$ — параллелограмм.

Основное свойство параллелограмма заключается в том, что его противоположные стороны равны по длине. Отсюда следует:
$DD_1 = CC_1$
$C_1D_1 = CD$

По условию задачи нам известны длины отрезков: $CD = 12$ см и $CC_1 = 4$ см.
Подставляя эти значения, находим искомые длины отрезков:
$DD_1 = CC_1 = 4$ см.
$C_1D_1 = CD = 12$ см.

Ответ: $DD_1 = 4$ см, $C_1D_1 = 12$ см.

6.9. Треугольник $ABC$ лежит в плоскости $\alpha$. Через его вершины проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость $\beta$, параллельную плоскости $\alpha$, в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$. Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны.

Для доказательства равенства треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ докажем равенство их соответствующих сторон.

1. Рассмотрим четырехугольник $ABB_1A_1$. По условию задачи, через вершины $A$ и $B$ проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость $\beta$ в точках $A_1$ и $B_1$. Это означает, что прямая $AA_1$ параллельна прямой $BB_1$, то есть $AA_1 || BB_1$.

2. Две параллельные прямые $AA_1$ и $BB_1$ определяют плоскость, в которой лежат все четыре точки $A$, $B$, $B_1$ и $A_1$. Таким образом, четырехугольник $ABB_1A_1$ является плоским.

3. Треугольник $ABC$ лежит в плоскости $\alpha$, а точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ — в плоскости $\beta$. По условию, плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha || \beta$).

4. Согласно свойству параллельных плоскостей, если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны. Плоскость четырехугольника $ABB_1A_1$ пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ по прямым $AB$ и $A_1B_1$ соответственно. Следовательно, $AB || A_1B_1$.

5. В четырехугольнике $ABB_1A_1$ противоположные стороны попарно параллельны ($AA_1 || BB_1$ и $AB || A_1B_1$). По определению, такой четырехугольник является параллелограммом.

6. В параллелограмме противоположные стороны равны. Следовательно, $AB = A_1B_1$.

7. Аналогично докажем равенство двух других пар сторон. Рассмотрим четырехугольники $BCC_1B_1$ и $ACC_1A_1$.

- В четырехугольнике $BCC_1B_1$: $BB_1 || CC_1$ по условию, и $BC || B_1C_1$ как линии пересечения плоскости $BCC_1B_1$ параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$. Значит, $BCC_1B_1$ — параллелограмм, и поэтому $BC = B_1C_1$.

- В четырехугольнике $ACC_1A_1$: $AA_1 || CC_1$ по условию, и $AC || A_1C_1$ как линии пересечения плоскости $ACC_1A_1$ параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$. Значит, $ACC_1A_1$ — параллелограмм, и поэтому $AC = A_1C_1$.

8. Мы показали, что соответствующие стороны треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны:

$AB = A_1B_1$

$BC = B_1C_1$

$AC = A_1C_1$

9. По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Следовательно, $\Delta ABC = \Delta A_1B_1C_1$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Так как стороны треугольника $ABC$ соответственно равны сторонам треугольника $A_1B_1C_1$ ($AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$), то по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам) $\Delta ABC = \Delta A_1B_1C_1$.

6.10. Даны параллельные плоскости $α$ и $β$. Отрезок AB и точка C лежат в плоскости $α$, точка D – в плоскости $β$ (рис. 6.12). Постройте линию пересечения: 1) плоскости $β$ и плоскости ABD; 2) плоскости $β$ и плоскости BCD.

Рис. 6.12

1)

Для построения линии пересечения плоскости $\beta$ и плоскости $ABD$ воспользуемся свойством параллельных плоскостей. По условию, плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$). Плоскость $ABD$ является секущей для плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Линия пересечения плоскости $ABD$ с плоскостью $\alpha$ — это прямая $AB$, так как точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\alpha$ и принадлежат плоскости $ABD$. Согласно свойству, если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны. Следовательно, линия пересечения плоскости $ABD$ с плоскостью $\beta$ должна быть параллельна прямой $AB$. Точка $D$ принадлежит плоскости $ABD$ (по построению) и плоскости $\beta$ (по условию), следовательно, точка $D$ лежит на искомой линии пересечения. Таким образом, искомая линия пересечения — это прямая, проходящая через точку $D$ параллельно прямой $AB$.
Ответ: Искомая линия пересечения — это прямая, проходящая через точку $D$ параллельно прямой $AB$.

2)

Рассуждаем аналогично первому пункту. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$). Плоскость $BCD$ является секущей для этих плоскостей. Линия пересечения плоскости $BCD$ с плоскостью $\alpha$ — это прямая $BC$, так как точки $B$ и $C$ лежат в плоскости $\alpha$ и принадлежат плоскости $BCD$. Следовательно, линия пересечения плоскости $BCD$ с плоскостью $\beta$ должна быть параллельна прямой $BC$. Точка $D$ принадлежит плоскости $BCD$ (по построению) и плоскости $\beta$ (по условию), значит, она лежит на искомой линии пересечения. Таким образом, искомая линия пересечения — это прямая, проходящая через точку $D$ параллельно прямой $BC$.
Ответ: Искомая линия пересечения — это прямая, проходящая через точку $D$ параллельно прямой $BC$.

6.11. Даны параллельные плоскости $α$ и $β$. Точки M и N лежат в плоскости $α$, точки K и P – в плоскости $β$ (рис. 6.13). Постройте линию пересечения:

1) плоскости $α$ и плоскости MKP;

2) плоскости $β$ и плоскости MNK.

Рис. 6.12

Рис. 6.13

1) плоскости α и плоскости MKP;

Чтобы найти линию пересечения двух плоскостей, нужно найти прямую, которая принадлежит обеим этим плоскостям.

1. Точка $M$ принадлежит плоскости $\alpha$ по условию. Точка $M$ также принадлежит плоскости $MKP$ по определению (так как плоскость $MKP$ проходит через точки $M$, $K$ и $P$). Следовательно, точка $M$ лежит на искомой линии пересечения.

2. Известно, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($ \alpha \parallel \beta $). Если третья плоскость ($MKP$) пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны.

3. Найдем линию пересечения плоскости $MKP$ и плоскости $\beta$. Точки $K$ и $P$ по условию лежат в плоскости $\beta$. Они также лежат в плоскости $MKP$ по определению. Следовательно, прямая $KP$ является линией пересечения плоскости $MKP$ и плоскости $\beta$.

4. Согласно свойству, упомянутому в пункте 2, линия пересечения плоскости $MKP$ и плоскости $\alpha$ должна быть параллельна линии пересечения плоскости $MKP$ и плоскости $\beta$, то есть прямой $KP$.

5. Таким образом, искомая линия пересечения проходит через точку $M$ (пункт 1) и параллельна прямой $KP$ (пункт 4).

Построение: В плоскости $\beta$ проводим прямую $KP$. Затем в плоскости $\alpha$ через точку $M$ проводим прямую, параллельную прямой $KP$. Эта прямая и является искомой линией пересечения.

Ответ: Линия пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости $MKP$ — это прямая, проходящая через точку $M$ параллельно прямой $KP$.

2) плоскости β и плоскости MNK.

Решение аналогично первому пункту.

1. Точка $K$ принадлежит плоскости $\beta$ по условию. Точка $K$ также принадлежит плоскости $MNK$ по определению. Следовательно, точка $K$ лежит на искомой линии пересечения.

2. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($ \alpha \parallel \beta $). Плоскость $MNK$ пересекает эти две параллельные плоскости, значит, линии их пересечения будут параллельны.

3. Найдем линию пересечения плоскости $MNK$ и плоскости $\alpha$. Точки $M$ и $N$ по условию лежат в плоскости $\alpha$. Они также лежат в плоскости $MNK$ по определению. Следовательно, прямая $MN$ является линией пересечения плоскости $MNK$ и плоскости $\alpha$.

4. Согласно свойству параллельных плоскостей, линия пересечения плоскости $MNK$ и плоскости $\beta$ должна быть параллельна прямой $MN$.

5. Таким образом, искомая линия пересечения проходит через точку $K$ (пункт 1) и параллельна прямой $MN$ (пункт 4).

Построение: В плоскости $\alpha$ проводим прямую $MN$. Затем в плоскости $\beta$ через точку $K$ проводим прямую, параллельную прямой $MN$. Эта прямая и является искомой линией пересечения.

Ответ: Линия пересечения плоскости $\beta$ и плоскости $MNK$ — это прямая, проходящая через точку $K$ параллельно прямой $MN$.

6.12. Параллельные плоскости $α$ и $β$ пересекают сторону $BA$ угла $ABC$ в точках $A_1$ и $A_2$ соответственно, а сторону $BC$ — в точках $C_1$ и $C_2$ соответственно. Найдите:

1) отрезок $A_1C_1$, если $A_2C_2 = 36$ см, $BA_1 : BA_2 = 5 : 9$;

2) отрезок $C_1C_2$, если $A_1C_1 = 14$ см, $A_2C_2 = 21$ см, $BC_1 = 12$ см.

По условию, плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. По свойству параллельных плоскостей, если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью (в данном случае, плоскостью угла $ABC$), то линии их пересечения параллельны. Следовательно, прямая $A_1C_1$ параллельна прямой $A_2C_2$.

Рассмотрим треугольники $\triangle BA_1C_1$ и $\triangle BA_2C_2$. Так как $A_1C_1 \parallel A_2C_2$, эти треугольники подобны по двум углам:

• $\angle B$ — общий;
• $\angle BA_1C_1 = \angle BA_2C_2$ как соответственные углы при параллельных прямых $A_1C_1$, $A_2C_2$ и секущей $BA$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон: $ \frac{BA_1}{BA_2} = \frac{BC_1}{BC_2} = \frac{A_1C_1}{A_2C_2} $. Это соотношение, также известное как обобщенная теорема Фалеса, мы будем использовать для решения задачи.

1) отрезок $A_1C_1$, если $A_2C_2 = 36$ см, $BA_1 : BA_2 = 5 : 9$;

Воспользуемся частью пропорции, связывающей искомый отрезок с известными данными: $ \frac{A_1C_1}{A_2C_2} = \frac{BA_1}{BA_2} $.

Подставим в нее известные значения: $A_2C_2 = 36$ см и отношение $ \frac{BA_1}{BA_2} = \frac{5}{9} $.

$ \frac{A_1C_1}{36} = \frac{5}{9} $

Выразим и вычислим $A_1C_1$:

$ A_1C_1 = 36 \cdot \frac{5}{9} = 4 \cdot 5 = 20 $ см.

Ответ: 20 см.

2) отрезок $C_1C_2$, если $A_1C_1 = 14$ см, $A_2C_2 = 21$ см, $BC_1 = 12$ см.

Сначала найдем длину отрезка $BC_2$, используя соотношение: $ \frac{BC_1}{BC_2} = \frac{A_1C_1}{A_2C_2} $.

Подставим известные значения: $A_1C_1 = 14$ см, $A_2C_2 = 21$ см и $BC_1 = 12$ см.

$ \frac{12}{BC_2} = \frac{14}{21} $

Упростим дробь в правой части: $ \frac{14}{21} = \frac{2}{3} $. Получаем пропорцию:

$ \frac{12}{BC_2} = \frac{2}{3} $

Отсюда найдем $BC_2$:

$ BC_2 = \frac{12 \cdot 3}{2} = 18 $ см.

Искомый отрезок $C_1C_2$ является разностью длин отрезков $BC_2$ и $BC_1$. Так как $BC_1 = 12$ см, а $BC_2 = 18$ см, то точка $C_1$ лежит между точками $B$ и $C_2$.

$ C_1C_2 = BC_2 - BC_1 = 18 - 12 = 6 $ см.

Ответ: 6 см.

6.13. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. Точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\alpha$, точки $C$ и $D$ – в плоскости $\beta$. Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

1) Докажите, что $\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}$.

2) Найдите отрезок $AB$, если $CD = 32$ см, $AC : AO = 7 : 3$.

1) Докажите, что $\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}$

Так как отрезки AC и BD пересекаются в точке O, они определяют единственную плоскость, назовем ее γ. Все четыре точки A, B, C, D лежат в этой плоскости.

По условию, плоскости α и β параллельны (α ∥ β). Плоскость γ является секущей для этих двух параллельных плоскостей.

Согласно теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей, линии их пересечения параллельны.

• Линией пересечения плоскости γ и плоскости α является прямая AB (поскольку точки A и B принадлежат обеим плоскостям).
• Линией пересечения плоскости γ и плоскости β является прямая CD (поскольку точки C и D принадлежат обеим плоскостям).

Следовательно, прямые AB и CD параллельны (AB ∥ CD).

Теперь рассмотрим треугольники ▵AOB и ▵COD.

• ∠AOB = ∠COD, так как они являются вертикальными углами.
• ∠OAB = ∠OCD, так как они являются накрест лежащими углами при параллельных прямых AB и CD и секущей AC.

Таким образом, треугольник ▵AOB подобен треугольнику ▵COD по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон: $$\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{CD}$$ Из этого соотношения, в частности, следует, что $\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Найдите отрезок AB, если $CD = 32$ см, $AC : AO = 7 : 3$

Из подобия треугольников ▵AOB и ▵COD, установленного в пункте 1, мы имеем соотношение: $$\frac{AB}{CD} = \frac{AO}{OC}$$

По условию дано, что $AC : AO = 7 : 3$. Это значит, что мы можем принять длину отрезка AO за $3x$, а длину отрезка AC за $7x$, где x — некоторый коэффициент пропорциональности.

Точка O лежит на отрезке AC, следовательно, $AC = AO + OC$. Мы можем выразить длину отрезка OC: $$OC = AC - AO = 7x - 3x = 4x$$

Теперь мы можем найти искомое отношение сторон для нашей пропорции: $$\frac{AO}{OC} = \frac{3x}{4x} = \frac{3}{4}$$

Подставим известные значения в пропорцию. Нам дано, что $CD = 32$ см. $$\frac{AB}{32} = \frac{3}{4}$$

Выразим из этого уравнения длину отрезка AB: $$AB = 32 \cdot \frac{3}{4} = \frac{96}{4} = 24$$

Ответ: 24 см.

6.14. Отрезки $AB$, $CD$ и $EF$, не лежащие в одной плоскости, пересекаются в точке $O$, являющейся серединой каждого из этих отрезков. Докажите, что плоскости $ACE$ и $BDF$ параллельны.

Для доказательства параллельности плоскостей $ (ACE) $ и $ (BDF) $ воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Рассмотрим треугольники $ \triangle AOC $ и $ \triangle BOD $. По условию, точка O является серединой отрезков AB и CD, поэтому $ AO = OB $ и $ CO = OD $. Углы $ \angle AOC $ и $ \angle BOD $ равны как вертикальные. Следовательно, $ \triangle AOC \cong \triangle BOD $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует, что накрест лежащие углы $ \angle OAC $ и $ \angle OBD $ (при прямых AC, BD и секущей AB) равны, а значит, прямая AC параллельна прямой BD ($ AC \parallel BD $).

Аналогично рассмотрим треугольники $ \triangle COE $ и $ \triangle DOF $. По условию, точка O является серединой отрезков CD и EF, поэтому $ CO = OD $ и $ EO = OF $. Углы $ \angle COE $ и $ \angle DOF $ равны как вертикальные. Следовательно, $ \triangle COE \cong \triangle DOF $ по тому же признаку. Из равенства треугольников следует, что накрест лежащие углы $ \angle OCE $ и $ \angle ODF $ (при прямых CE, DF и секущей CD) равны, а значит, прямая CE параллельна прямой DF ($ CE \parallel DF $).

Таким образом, мы имеем две пересекающиеся в точке C прямые AC и CE, лежащие в плоскости $ (ACE) $, которые соответственно параллельны двум пересекающимся в точке D прямым BD и DF, лежащим в плоскости $ (BDF) $. Согласно признаку параллельности плоскостей, плоскость $ (ACE) $ параллельна плоскости $ (BDF) $.

Ответ: Плоскости $ (ACE) $ и $ (BDF) $ параллельны, что и требовалось доказать.