Номер 10, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Параллельность плоскостей. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 10, страница 56.

Условие.

6.10. Даны параллельные плоскости $α$ и $β$. Отрезок AB и точка C лежат в плоскости $α$, точка D – в плоскости $β$ (рис. 6.12). Постройте линию пересечения: 1) плоскости $β$ и плоскости ABD; 2) плоскости $β$ и плоскости BCD.

Рис. 6.12

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Для построения линии пересечения плоскости $\beta$ и плоскости $ABD$ воспользуемся свойством параллельных плоскостей. По условию, плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$). Плоскость $ABD$ является секущей для плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Линия пересечения плоскости $ABD$ с плоскостью $\alpha$ — это прямая $AB$, так как точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\alpha$ и принадлежат плоскости $ABD$. Согласно свойству, если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны. Следовательно, линия пересечения плоскости $ABD$ с плоскостью $\beta$ должна быть параллельна прямой $AB$. Точка $D$ принадлежит плоскости $ABD$ (по построению) и плоскости $\beta$ (по условию), следовательно, точка $D$ лежит на искомой линии пересечения. Таким образом, искомая линия пересечения — это прямая, проходящая через точку $D$ параллельно прямой $AB$.
Ответ: Искомая линия пересечения — это прямая, проходящая через точку $D$ параллельно прямой $AB$.

2)

Рассуждаем аналогично первому пункту. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$). Плоскость $BCD$ является секущей для этих плоскостей. Линия пересечения плоскости $BCD$ с плоскостью $\alpha$ — это прямая $BC$, так как точки $B$ и $C$ лежат в плоскости $\alpha$ и принадлежат плоскости $BCD$. Следовательно, линия пересечения плоскости $BCD$ с плоскостью $\beta$ должна быть параллельна прямой $BC$. Точка $D$ принадлежит плоскости $BCD$ (по построению) и плоскости $\beta$ (по условию), значит, она лежит на искомой линии пересечения. Таким образом, искомая линия пересечения — это прямая, проходящая через точку $D$ параллельно прямой $BC$.
Ответ: Искомая линия пересечения — это прямая, проходящая через точку $D$ параллельно прямой $BC$.