Номер 12, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Параллельность плоскостей. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 12, страница 56.

Условие.

6.12. Параллельные плоскости $α$ и $β$ пересекают сторону $BA$ угла $ABC$ в точках $A_1$ и $A_2$ соответственно, а сторону $BC$ — в точках $C_1$ и $C_2$ соответственно. Найдите:

1) отрезок $A_1C_1$, если $A_2C_2 = 36$ см, $BA_1 : BA_2 = 5 : 9$;

2) отрезок $C_1C_2$, если $A_1C_1 = 14$ см, $A_2C_2 = 21$ см, $BC_1 = 12$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По условию, плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. По свойству параллельных плоскостей, если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью (в данном случае, плоскостью угла $ABC$), то линии их пересечения параллельны. Следовательно, прямая $A_1C_1$ параллельна прямой $A_2C_2$.

Рассмотрим треугольники $\triangle BA_1C_1$ и $\triangle BA_2C_2$. Так как $A_1C_1 \parallel A_2C_2$, эти треугольники подобны по двум углам:

• $\angle B$ — общий;
• $\angle BA_1C_1 = \angle BA_2C_2$ как соответственные углы при параллельных прямых $A_1C_1$, $A_2C_2$ и секущей $BA$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон: $ \frac{BA_1}{BA_2} = \frac{BC_1}{BC_2} = \frac{A_1C_1}{A_2C_2} $. Это соотношение, также известное как обобщенная теорема Фалеса, мы будем использовать для решения задачи.

1) отрезок $A_1C_1$, если $A_2C_2 = 36$ см, $BA_1 : BA_2 = 5 : 9$;

Воспользуемся частью пропорции, связывающей искомый отрезок с известными данными: $ \frac{A_1C_1}{A_2C_2} = \frac{BA_1}{BA_2} $.

Подставим в нее известные значения: $A_2C_2 = 36$ см и отношение $ \frac{BA_1}{BA_2} = \frac{5}{9} $.

$ \frac{A_1C_1}{36} = \frac{5}{9} $

Выразим и вычислим $A_1C_1$:

$ A_1C_1 = 36 \cdot \frac{5}{9} = 4 \cdot 5 = 20 $ см.

Ответ: 20 см.

2) отрезок $C_1C_2$, если $A_1C_1 = 14$ см, $A_2C_2 = 21$ см, $BC_1 = 12$ см.

Сначала найдем длину отрезка $BC_2$, используя соотношение: $ \frac{BC_1}{BC_2} = \frac{A_1C_1}{A_2C_2} $.

Подставим известные значения: $A_1C_1 = 14$ см, $A_2C_2 = 21$ см и $BC_1 = 12$ см.

$ \frac{12}{BC_2} = \frac{14}{21} $

Упростим дробь в правой части: $ \frac{14}{21} = \frac{2}{3} $. Получаем пропорцию:

$ \frac{12}{BC_2} = \frac{2}{3} $

Отсюда найдем $BC_2$:

$ BC_2 = \frac{12 \cdot 3}{2} = 18 $ см.

Искомый отрезок $C_1C_2$ является разностью длин отрезков $BC_2$ и $BC_1$. Так как $BC_1 = 12$ см, а $BC_2 = 18$ см, то точка $C_1$ лежит между точками $B$ и $C_2$.

$ C_1C_2 = BC_2 - BC_1 = 18 - 12 = 6 $ см.

Ответ: 6 см.