Номер 6, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Параллельность плоскостей. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 6, страница 55.

Условие.

6.6. Можно ли утверждать, что плоскость $\alpha$ параллельна плоскости трапеции, если плоскость $\alpha$ параллельна:

1) основаниям трапеции;

2) боковым сторонам трапеции?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) основаниям трапеции

Пусть плоскость трапеции $ABCD$ (где $AD$ и $BC$ — основания) есть плоскость $\beta$. По определению трапеции, ее основания $AD$ и $BC$ являются параллельными прямыми, то есть $AD \parallel BC$.

По условию, плоскость $\alpha$ параллельна основаниям трапеции, то есть $\alpha \parallel AD$ и $\alpha \parallel BC$. Утверждение состоит в том, что из этого следует $\alpha \parallel \beta$.

Признак параллельности плоскостей гласит, что если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны. В данном случае прямые $AD$ и $BC$, которым параллельна плоскость $\alpha$, не пересекаются, а параллельны друг другу. Поэтому данный признак неприменим, и утверждение может быть неверным.

Чтобы это доказать, приведем контрпример. Пусть плоскость трапеции $\beta$ совпадает с координатной плоскостью $Oxy$ (ее уравнение $z=0$). В этой плоскости расположим трапецию с вершинами $A(0,0,0)$, $D(3,0,0)$, $B(1,2,0)$, $C(2,2,0)$. Ее основания $AD$ и $BC$ лежат на прямых, параллельных оси $Ox$.

Теперь рассмотрим плоскость $\alpha$, заданную уравнением $y-z-1=0$. Нормальный вектор этой плоскости $\vec{n}_{\alpha} = (0,1,-1)$. Направляющий вектор оси $Ox$ (и, следовательно, прямых $AD$ и $BC$) — это $\vec{s} = (1,0,0)$. Найдем их скалярное произведение:

$\vec{n}_{\alpha} \cdot \vec{s} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 = 0$

Поскольку скалярное произведение равно нулю, нормальный вектор плоскости перпендикулярен направляющему вектору прямой. Это означает, что плоскость $\alpha$ параллельна оси $Ox$, а значит, она параллельна и основаниям трапеции $AD$ и $BC$.

Однако плоскость $\alpha$ (с уравнением $y-z-1=0$) не параллельна плоскости $\beta$ (с уравнением $z=0$), так как их нормальные векторы $\vec{n}_{\alpha}=(0,1,-1)$ и $\vec{n}_{\beta}=(0,0,1)$ не коллинеарны. Эти плоскости пересекаются по прямой, которая задается системой уравнений $\begin{cases} y-z-1=0 \\ z=0 \end{cases}$, то есть по прямой $y=1, z=0$.

Таким образом, мы нашли плоскость $\alpha$, которая параллельна основаниям трапеции, но не параллельна плоскости самой трапеции. Следовательно, данное утверждение не всегда верно.

Ответ: нет.

2) боковым сторонам трапеции

Пусть плоскость трапеции $ABCD$ есть $\beta$, а ее боковые стороны — $AB$ и $CD$. По определению трапеции, ее боковые стороны не параллельны (иначе это был бы параллелограмм). Поскольку прямые $AB$ и $CD$ лежат в одной плоскости $\beta$ и не параллельны, они являются пересекающимися прямыми (если их продолжить до точки пересечения).

По условию, плоскость $\alpha$ параллельна боковым сторонам трапеции, то есть $\alpha \parallel AB$ и $\alpha \parallel CD$.

Воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей: если плоскость $\alpha$ параллельна двум пересекающимся прямым ($l_1$ и $l_2$), которые лежат в плоскости $\beta$, то плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны.

В нашем случае, прямые $AB$ и $CD$ — это две пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости $\beta$. Плоскость $\alpha$ по условию параллельна каждой из этих прямых. Следовательно, по вышеуказанному признаку, плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$.

Таким образом, если плоскость параллельна боковым сторонам трапеции, то она обязательно параллельна и плоскости трапеции.

Ответ: да.