Номер 1, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Параллельность плоскостей. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 1, страница 55.

Условие.

6.1. Верно ли утверждение:

1) если две плоскости параллельны, то любая прямая одной плоскости параллельна любой прямой другой плоскости;

2) если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна прямой другой плоскости, то данные плоскости параллельны;

3) если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны соответственно двум прямым, лежащим в другой плоскости, то данные плоскости параллельны?

Рис. 6.11

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) если две плоскости параллельны, то любая прямая одной плоскости параллельна любой прямой другой плоскости;

Данное утверждение неверно. Рассмотрим две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Пусть прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), а прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$ ($b \subset \beta$). Прямые $a$ и $b$ могут быть не только параллельными, но и скрещивающимися.

Приведём контрпример. Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскость верхнего основания $(A_1B_1C_1)$ параллельна плоскости нижнего основания $(ABC)$. Прямая $A_1B_1$ принадлежит плоскости $(A_1B_1C_1)$, а прямая $AD$ принадлежит плоскости $(ABC)$. Эти прямые не параллельны, а являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Ответ: нет, утверждение неверно.

2) если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна прямой другой плоскости, то данные плоскости параллельны;

Данное утверждение неверно. Пусть прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $b$ — в плоскости $\beta$, и при этом $a \parallel b$. Этого условия недостаточно для параллельности плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Они могут пересекаться.

Приведём контрпример. Возьмём две пересекающиеся плоскости $\alpha$ и $\beta$. Пусть линия их пересечения — прямая $l$. В плоскости $\alpha$ проведём прямую $a$, параллельную прямой $l$. В плоскости $\beta$ проведём прямую $b$, также параллельную прямой $l$. Поскольку $a \parallel l$ и $b \parallel l$, то по свойству транзитивности параллельных прямых в пространстве, прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$). Однако плоскости $\alpha$ и $\beta$ по построению пересекаются, а не параллельны.

Ответ: нет, утверждение неверно.

3) если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны соответственно двум прямым, лежащим в другой плоскости, то данные плоскости параллельны?

Данное утверждение неверно в общем случае, так как оно истинно только при определённом дополнительном условии, которое не указано в формулировке.

Утверждение будет верным, если две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются. Это следует из признака параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Однако, если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны, то утверждение неверно. Приведём контрпример. Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $l$. В плоскости $\alpha$ выберем две различные параллельные прямые $a_1$ и $a_2$, которые также параллельны прямой $l$. В плоскости $\beta$ выберем две различные параллельные прямые $b_1$ и $b_2$, которые также параллельны прямой $l$. Тогда $a_1 \parallel b_1$ (так как обе параллельны $l$) и $a_2 \parallel b_2$ (так как обе параллельны $l$). Таким образом, условие выполнено: две прямые ($a_1, a_2$) в плоскости $\alpha$ параллельны двум прямым ($b_1, b_2$) в плоскости $\beta$. Но при этом плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются.

Поскольку для выполнения общего утверждения оно должно быть истинно во всех случаях, а мы нашли случай, когда оно ложно, то всё утверждение считается неверным.

Ответ: нет, утверждение неверно.