Номер 40, страница 50 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 40, страница 50.

Условие.

5.40. Основания трапеции равны 12 см и 18 см, а одна из диагоналей – 20 см. Найдите отрезки, на которые точка пересечения диагоналей трапеции делит данную диагональ.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

По условию задачи, основания трапеции равны 12 см и 18 см. Пусть $BC = 12$ см и $AD = 18$ см. Длина одной из диагоналей равна 20 см. Пусть это будет диагональ $AC$, то есть $AC = 20$ см.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$, образованные пересечением диагоналей.

Поскольку $AD \parallel BC$ (как основания трапеции), то:

• $\angle OAD = \angle OCB$ (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$).
• $\angle ODA = \angle OBC$ (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$).

Следовательно, треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$ подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует, что их соответствующие стороны пропорциональны:

$\frac{AO}{CO} = \frac{DO}{BO} = \frac{AD}{BC}$

Подставим известные значения длин оснований:

$\frac{AO}{CO} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

Таким образом, точка пересечения диагоналей $O$ делит диагональ $AC$ в отношении $3:2$.

Пусть длина отрезка $CO$ равна $2x$, тогда длина отрезка $AO$ будет равна $3x$.

Сумма длин этих отрезков равна длине всей диагонали $AC$:

$AO + CO = AC$

$3x + 2x = 20$

$5x = 20$

$x = \frac{20}{5} = 4$

Теперь найдем длины искомых отрезков:

$CO = 2x = 2 \cdot 4 = 8$ см.

$AO = 3x = 3 \cdot 4 = 12$ см.

Проверим: $8 + 12 = 20$ см, что соответствует длине диагонали.

Ответ: 8 см и 12 см.