Номер 34, страница 49 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 34, страница 49.

Условие.

5.34. На рёбрах $AB$ и $C_1D_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили соответственно точки $M$ и $K$. Постройте линию пересечения плоскостей $AA_1K$ и $DD_1M$. Каково взаимное расположение построенной прямой и прямой $AA_1$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Обозначим плоскость, проходящую через точки $A$, $A_1$ и $K$, как $\alpha$, то есть $\alpha = (AA_1K)$. Обозначим плоскость, проходящую через точки $D$, $D_1$ и $M$, как $\beta$, то есть $\beta = (DD_1M)$. Задача состоит в том, чтобы построить линию пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, а затем определить её взаимное расположение с ребром $AA_1$.

Построение линии пересечения

Для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо найти две общие точки, принадлежащие обеим плоскостям. Мы найдем эти точки, используя метод следов на плоскостях основания параллелепипеда.

1. Рассмотрим пересечение плоскостей $\alpha$ и $\beta$ с плоскостью нижнего основания $(ABCD)$.
   • Плоскость $\beta=(DD_1M)$ пересекает плоскость $(ABCD)$ по прямой $DM$, так как точки $D$ и $M$ лежат в обеих плоскостях.
   • Плоскость $\alpha=(AA_1K)$ пересекает плоскость верхнего основания $(A_1B_1C_1D_1)$ по прямой $A_1K$. Поскольку плоскости оснований $(ABCD)$ и $(A_1B_1C_1D_1)$ параллельны, то линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $(ABCD)$ будет прямой, проходящей через точку $A$ (которая лежит в $\alpha$ и в $(ABCD)$) и параллельной прямой $A_1K$. Обозначим эту прямую как $l_A$.
   • Прямые $DM$ и $l_A$ лежат в одной плоскости $(ABCD)$ и пересекаются в некоторой точке $P$ (в общем случае). Точка $P$ принадлежит обеим плоскостям $\alpha$ и $\beta$, так как $P \in DM \subset \beta$ и $P \in l_A \subset \alpha$. Таким образом, $P$ — первая точка искомой линии пересечения.
2. Теперь рассмотрим пересечение плоскостей $\alpha$ и $\beta$ с плоскостью верхнего основания $(A_1B_1C_1D_1)$.
   • Плоскость $\alpha=(AA_1K)$ пересекает плоскость $(A_1B_1C_1D_1)$ по прямой $A_1K$, так как точки $A_1$ и $K$ лежат в обеих плоскостях.
   • Плоскость $\beta=(DD_1M)$ пересекает плоскость нижнего основания $(ABCD)$ по прямой $DM$. Так как плоскости оснований параллельны, то линия пересечения плоскости $\beta$ с плоскостью $(A_1B_1C_1D_1)$ будет прямой, проходящей через точку $D_1$ (которая лежит в $\beta$ и в $(A_1B_1C_1D_1)$) и параллельной прямой $DM$. Обозначим эту прямую как $l_{D1}$.
   • Прямые $A_1K$ и $l_{D1}$ лежат в одной плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$ и пересекаются в некоторой точке $Q$ (в общем случае). Точка $Q$ принадлежит обеим плоскостям $\alpha$ и $\beta$, так как $Q \in A_1K \subset \alpha$ и $Q \in l_{D1} \subset \beta$. Таким образом, $Q$ — вторая точка искомой линии пересечения.
3. Соединив точки $P$ и $Q$, мы получаем прямую $PQ$, которая является линией пересечения плоскостей $(AA_1K)$ и $(DD_1M)$.

Ответ: Линия пересечения плоскостей $(AA_1K)$ и $(DD_1M)$ — это прямая $PQ$, где $P$ — точка пересечения прямых $DM$ и $l_A$ (прямая, проходящая через $A$ параллельно $A_1K$), а $Q$ — точка пересечения прямых $A_1K$ и $l_{D1}$ (прямая, проходящая через $D_1$ параллельно $DM$).

Взаимное расположение построенной прямой и прямой $AA_1$

Для определения взаимного расположения прямой $PQ$ и прямой $AA_1$ воспользуемся методом параллельного проецирования.

1. Спроецируем параллелепипед и данные плоскости на плоскость нижнего основания $(ABCD)$ в направлении, параллельном боковому ребру $AA_1$. Обозначим это проецирование как $\pi$.
2. Найдем проекцию плоскости $\alpha=(AA_1K)$.
   • Все точки ребра $AA_1$ (включая $A$ и $A_1$) проецируются в одну точку $A$.
   • Точка $K$, лежащая на ребре $C_1D_1$, проецируется в точку $K'$ на ребре $CD$ (поскольку $C_1$ проецируется в $C$, а $D_1$ в $D$).
   • Таким образом, вся плоскость $\alpha$, проходящая через точки $A, A_1, K$, проецируется в прямую $AK'$.
3. Найдем проекцию плоскости $\beta=(DD_1M)$.
   • Все точки ребра $DD_1$ (включая $D$ и $D_1$) проецируются в одну точку $D$.
   • Точка $M$, лежащая на ребре $AB$ в плоскости проекции, проецируется сама в себя.
   • Таким образом, вся плоскость $\beta$, проходящая через точки $D, D_1, M$, проецируется в прямую $DM$.
4. Линия пересечения плоскостей $PQ = \alpha \cap \beta$. Её проекция $\pi(PQ)$ должна лежать в пересечении проекций плоскостей $\pi(\alpha)$ и $\pi(\beta)$.
5. Пересечением проекций $\pi(\alpha)=AK'$ и $\pi(\beta)=DM$ является точка их пересечения в плоскости $(ABCD)$ (в общем случае).
6. Поскольку проекцией всей прямой $PQ$ является одна точка, это означает, что сама прямая $PQ$ параллельна направлению проецирования.
7. Направление проецирования было выбрано параллельно ребру $AA_1$. Следовательно, прямая $PQ$ параллельна прямой $AA_1$.

Ответ: Построенная прямая пересечения $PQ$ параллельна прямой $AA_1$.