Номер 36, страница 49 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 36, страница 49.

Условие.

5.36. Точки $E$ и $F$ – середины соответственно рёбер $AD$ и $CD$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через прямую $EF$ параллельно прямой $B_1D_1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $\alpha$ — искомая плоскость сечения. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через прямую $EF$ и параллельна прямой $B_1D$. Построение сечения можно выполнить в несколько шагов.

1. Точки $E$ и $F$ лежат в плоскости нижнего основания $ABCD$, поэтому отрезок $EF$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью грани $ABCD$ и, следовательно, одной из сторон искомого сечения.

2. Найдем точку пересечения секущей плоскости с ребром $BB_1$. Для этого воспользуемся вспомогательной диагональной плоскостью $BDD_1B_1$, в которой лежит прямая $B_1D$. Найдем общую точку плоскостей $\alpha$ и $BDD_1B_1$. В плоскости основания $ABCD$ проведем диагональ $BD$. Так как $E$ и $F$ — середины сторон $AD$ и $CD$ соответственно, то $EF$ является средней линией треугольника $ADC$, и, следовательно, $EF \parallel AC$. Поскольку прямые $EF$ и $BD$ не параллельны, они пересекаются в некоторой точке $P$. Точка $P$ принадлежит прямой $EF$, поэтому $P \in \alpha$. Точка $P$ также принадлежит прямой $BD$, поэтому она лежит в плоскости $BDD_1B_1$. Значит, $P$ — общая точка двух плоскостей.

3. Так как плоскость $\alpha$ параллельна прямой $B_1D$ по условию, то линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $BDD_1B_1$ (содержащей $B_1D$) должна быть параллельна $B_1D$. Проведем в плоскости $BDD_1B_1$ через точку $P$ прямую $l$, параллельную $B_1D$. Эта прямая пересечет ребро $BB_1$ в точке $M$. Точка $M$ является вершиной искомого сечения.

4. Для нахождения остальных вершин сечения воспользуемся методом следов. В плоскости основания $ABCD$ продлим прямую $EF$ до пересечения с продолжением прямой $AB$ в точке $S$. Точка $S$ принадлежит как плоскости сечения $\alpha$ (так как лежит на прямой $EF$), так и плоскости грани $ABB_1A_1$ (так как лежит на прямой $AB$).

5. Точки $S$ и $M$ определяют прямую $SM$ — след плоскости $\alpha$ на плоскости грани $ABB_1A_1$. Эта прямая пересекает ребро $AA_1$ в точке $G$. Отрезок $GM$ — сторона сечения.

6. Теперь у нас есть вершины $E, F, M, G$. Соединяем точки $E$ и $G$, так как они лежат в одной грани $ADD_1A_1$. Отрезок $EG$ — сторона сечения.

7. Воспользуемся свойством параллельных граней куба: секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным прямым. Грани $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$ параллельны, значит, линии их пересечения с плоскостью $\alpha$ параллельны, то есть $FH \parallel GM$. Проводим в плоскости грани $DCC_1D_1$ через точку $F$ прямую, параллельную $GM$. Она пересекает ребро $CC_1$ в точке $H$. Отрезок $FH$ — сторона сечения.

8. Соединяем точки $H$ и $M$, лежащие в одной грани $BCC_1B_1$. Отрезок $HM$ — сторона сечения. Заметим, что $HM \parallel EG$, так как грани $BCC_1B_1$ и $ADD_1A_1$ параллельны.

9. Последовательно соединив точки $E \to F \to H \to M \to G \to E$, получаем замкнутую фигуру — пятиугольник $EFHMG$.

Ответ: Искомое сечение — пятиугольник $EFHMG$, вершины которого лежат на ребрах $AD$, $CD$, $CC_1$, $BB_1$, $AA_1$ куба соответственно, и построение которого описано выше.