Номер 35, страница 49 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 35, страница 49.

Условие.

5.35. На ребре $BB_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили точки $E$ и $F$ (рис. 5.25). Постройте линию пересечения плоскостей $AFD$ и $A_1ED_1$.

Рис. 5.24 Рис. 5.25

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения линии пересечения плоскостей $(AFD)$ и $(A_1ED_1)$ необходимо найти две общие точки этих плоскостей, либо одну общую точку и направление линии пересечения. Решим задачу, используя второй подход.

1. Нахождение общей точки плоскостей

Рассмотрим прямые $AF$ и $A_1E$. Прямая $AF$ полностью лежит в плоскости $(AFD)$, так как точки $A$ и $F$ принадлежат этой плоскости. Аналогично, прямая $A_1E$ полностью лежит в плоскости $(A_1ED_1)$.

Обе прямые, $AF$ и $A_1E$, также лежат в одной плоскости — плоскости боковой грани $ABB_1A_1$, поскольку все четыре точки $A, F, A_1, E$ принадлежат этой грани. Так как по условию точки $E$ и $F$ на ребре $BB_1$ различны, прямые $AF$ и $A_1E$ не являются параллельными и, следовательно, пересекаются. Обозначим точку их пересечения как $P$.

Поскольку точка $P$ принадлежит прямой $AF$, она лежит в плоскости $(AFD)$. Поскольку точка $P$ принадлежит прямой $A_1E$, она также лежит в плоскости $(A_1ED_1)$. Таким образом, точка $P$ является общей для обеих плоскостей и, следовательно, принадлежит их линии пересечения.

2. Нахождение направления линии пересечения

Плоскость $(AFD)$ содержит прямую $AD$, а плоскость $(A_1ED_1)$ содержит прямую $A_1D_1$. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ грань $ABCD$ параллельна грани $A_1B_1C_1D_1$. Из этого следует, что прямая $AD$ параллельна прямой $A_1D_1$, то есть $AD \parallel A_1D_1$.

Согласно свойству пересекающихся плоскостей, если две плоскости проходят через две параллельные прямые, то линия их пересечения параллельна этим прямым. Так как плоскости $(AFD)$ и $(A_1ED_1)$ пересекаются и содержат параллельные прямые $AD$ и $A_1D_1$ соответственно, их линия пересечения будет параллельна этим прямым.

3. Построение линии пересечения

Итак, мы нашли точку $P$, принадлежащую линии пересечения, и установили, что эта линия параллельна ребру $AD$. Таким образом, искомая линия пересечения — это прямая, проходящая через точку $P$ параллельно $AD$.

Алгоритм построения:
1. В плоскости грани $ABB_1A_1$ строим прямые, содержащие отрезки $AF$ и $A_1E$.
2. Находим точку их пересечения $P$.
3. Через точку $P$ проводим прямую, параллельную ребру $AD$. Эта прямая и будет являться искомой линией пересечения плоскостей.

Ответ: Линия пересечения плоскостей $(AFD)$ и $(A_1ED_1)$ — это прямая, которая проходит через точку пересечения прямых $AF$ и $A_1E$ и параллельна ребру $AD$.