Номер 33, страница 49 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 33, страница 49.

Условие.

5.33. На рёбрах $AD$ и $BC$ тетраэдра $DABC$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ (рис. 5.24). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через прямую $MK$ параллельно прямой $AB$.

Рис. 5.24

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Обозначим искомую плоскость сечения через $\alpha$. По условию задачи, эта плоскость проходит через точки $M$ и $K$, то есть содержит прямую $MK$, и параллельна прямой $AB$.

Построение сечения выполняется в несколько шагов:

1. Построение в плоскости грани ABD.
Прямая $AB$ принадлежит плоскости грани $(ABD)$. Согласно свойству параллельности прямой и плоскости, если плоскость ($\alpha$) параллельна некоторой прямой ($AB$), то линия пересечения этой плоскости с любой другой плоскостью (например, $(ABD)$), содержащей данную прямую, будет параллельна этой прямой.Точка $M$ лежит на ребре $AD$, следовательно, $M$ принадлежит плоскости грани $(ABD)$. Также по условию $M$ принадлежит плоскости сечения $\alpha$. Значит, точка $M$ лежит на линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $(ABD)$.Таким образом, линия пересечения плоскости сечения $\alpha$ с плоскостью грани $(ABD)$ — это прямая, проходящая через точку $M$ параллельно прямой $AB$.Проведем в плоскости грани $(ABD)$ через точку $M$ прямую, параллельную $AB$. Пусть эта прямая пересекает ребро $BD$ в точке $P$. Отрезок $MP$ является одной из сторон искомого сечения. Итак, $MP \parallel AB$.

2. Построение в плоскости грани ABC.
Аналогично, прямая $AB$ принадлежит плоскости грани $(ABC)$. Точка $K$ лежит на ребре $BC$, следовательно, $K$ принадлежит плоскости грани $(ABC)$ и, по условию, плоскости сечения $\alpha$.Линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью грани $(ABC)$ — это прямая, проходящая через точку $K$ параллельно прямой $AB$.Проведем в плоскости грани $(ABC)$ через точку $K$ прямую, параллельную $AB$. Пусть эта прямая пересекает ребро $AC$ в точке $L$. Отрезок $KL$ является еще одной стороной сечения. Итак, $KL \parallel AB$.

3. Завершение построения.
Мы получили четыре точки, принадлежащие плоскости сечения $\alpha$: $M$ на ребре $AD$, $P$ на ребре $BD$, $K$ на ребре $BC$ и $L$ на ребре $AC$. Эти точки являются вершинами многоугольника сечения.

• Соединим точки $P$ и $K$. Обе точки лежат в плоскости грани $BCD$ (так как $P \in BD$ и $K \in BC$), поэтому отрезок $PK$ лежит на грани $BCD$.
• Соединим точки $L$ и $M$. Обе точки лежат в плоскости грани $ACD$ (так как $L \in AC$ и $M \in AD$), поэтому отрезок $LM$ лежит на грани $ACD$.

В результате мы получили четырехугольник $MPKL$, который является искомым сечением тетраэдра плоскостью $\alpha$.

Обоснование.
Построенная плоскость $(MPKL)$ проходит через точки $M$ и $K$ и, следовательно, через прямую $MK$. По построению, прямая $MP$ лежит в этой плоскости и $MP \parallel AB$. По признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая ($AB$), не лежащая в плоскости ($(MPKL)$), параллельна некоторой прямой ($MP$), лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Следовательно, плоскость $(MPKL)$ параллельна прямой $AB$. Таким образом, построенное сечение $MPKL$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Примечание: Так как $MP \parallel AB$ и $KL \parallel AB$, то $MP \parallel KL$. Четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, является трапецией. Следовательно, сечение $MPKL$ — трапеция.

Ответ: Искомым сечением является четырехугольник $MPKL$, где точка $P$ — это точка пересечения прямой, проходящей через точку $M$ параллельно прямой $AB$, с ребром $BD$, а точка $L$ — это точка пересечения прямой, проходящей через точку $K$ параллельно прямой $AB$, с ребром $AC$.