Номер 32, страница 49 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 32, страница 49.

Условие.

5.32. На рёбрах $AD$ и $BC$ тетраэдра $DABC$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ (рис. 5.24). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через прямую $MK$ параллельно прямой $CD$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $\alpha$ — искомая плоскость сечения. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через прямую $MK$ и параллельна прямой $CD$. То есть, $MK \subset \alpha$ и $\alpha \parallel CD$.

Для построения сечения воспользуемся свойством параллельных прямой и плоскости: если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту другую плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. В нашем случае, мы будем использовать следствие: если плоскость $\alpha$ параллельна прямой $CD$, то линия пересечения плоскости $\alpha$ с любой плоскостью, содержащей прямую $CD$, будет параллельна прямой $CD$.

Построение

1. Рассмотрим грань $ACD$ тетраэдра. Эта грань содержит прямую $CD$. Точка $M$ принадлежит ребру $AD$, следовательно, $M \in (ACD)$. Так как искомая плоскость $\alpha$ проходит через точку $M$ и параллельна прямой $CD$, то линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью грани $ACD$ должна проходить через точку $M$ и быть параллельной $CD$.
2. В плоскости грани $ACD$ через точку $M$ проведём прямую, параллельную $CD$. Эта прямая пересечёт ребро $AC$ в некоторой точке $N$. Отрезок $MN$ — одна из сторон искомого сечения. Итак, строим $MN \parallel CD$, где $N \in AC$.
3. Рассмотрим грань $BCD$ тетраэдра. Эта грань также содержит прямую $CD$. Точка $K$ принадлежит ребру $BC$, следовательно, $K \in (BCD)$. Аналогично предыдущему шагу, линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью грани $BCD$ должна проходить через точку $K$ и быть параллельной $CD$.
4. В плоскости грани $BCD$ через точку $K$ проведём прямую, параллельную $CD$. Эта прямая пересечёт ребро $BD$ в некоторой точке $L$. Отрезок $KL$ — вторая сторона искомого сечения. Итак, строим $KL \parallel CD$, где $L \in BD$.
5. Соединим последовательно точки $M, N, K, L$. Полученный четырёхугольник $MNKL$ является искомым сечением.

Обоснование

По построеню мы имеем $MN \parallel CD$ и $KL \parallel CD$. Из этого следует, что $MN \parallel KL$. Согласно признаку, если две параллельные прямые ($MN$ и $KL$) лежат в одной плоскости, то все четыре точки $M, N, K, L$ лежат в одной плоскости.

Назовём эту плоскость $\beta = (MNKL)$.

• Плоскость $\beta$ содержит точки $M$ и $K$, а значит, содержит и всю прямую $MK$.
• Плоскость $\beta$ содержит прямую $MN$, которая параллельна прямой $CD$. По признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая ($CD$), не лежащая в плоскости ($\beta$), параллельна какой-либо прямой ($MN$), лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Следовательно, $\beta \parallel CD$.

Таким образом, построенная плоскость $(MNKL)$ проходит через прямую $MK$ и параллельна прямой $CD$, то есть является искомой плоскостью сечения. Четырёхугольник $MNKL$ — искомое сечение (является трапецией, так как $MN \parallel KL$).

Ответ: Искомое сечение — четырёхугольник $MNKL$, где точка $N$ лежит на ребре $AC$ и $MN \parallel CD$, а точка $L$ лежит на ребре $BD$ и $KL \parallel CD$.