Номер 38, страница 50 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 38, страница 50.

Условие.

5.38. Точки $M$, $N$ и $K$ принадлежат соответственно граням $AA_1C_1C$, $AA_1B_1B$ и $BB_1C_1C$ призмы $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 5.26). Постройте сечение призмы плоскостью $MNK$.

Рис. 5.26

Решение 1.

Решение 3.

Для построения сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью, проходящей через точки $M, N, K$, используется метод следов. Метод заключается в построении линии пересечения (следа) секущей плоскости $(MNK)$ с плоскостью основания призмы $(ABC)$. Затем, используя этот след, последовательно находятся точки пересечения секущей плоскости с ребрами призмы, которые и будут являться вершинами искомого сечения.

1. Построение следа секущей плоскости на плоскости основания

След — это прямая пересечения плоскости $(MNK)$ и плоскости $(ABC)$. Для построения прямой необходимо найти две принадлежащие ей точки.

1. Спроектируем точки $M$, $N$ и $K$ на плоскость основания $(ABC)$ параллельно боковым ребрам (например, параллельно ребру $AA_1$). Обозначим проекции как $M'$, $N'$ и $K'$ соответственно. Поскольку точка $M$ лежит на грани $AA_1C_1C$, ее проекция $M'$ будет лежать на прямой $AC$. Аналогично, $N' \in AB$ и $K' \in BC$.
2. Рассмотрим прямые $MN$ и $M'N'$. Эти две прямые лежат в одной вспомогательной плоскости (проходящей через параллельные прямые $MM'$ и $NN'$), поэтому они пересекаются (или параллельны). Найдем точку их пересечения $P_1 = MN \cap M'N'$. Точка $P_1$ принадлежит прямой $MN$, а значит, и секущей плоскости $(MNK)$. Также точка $P_1$ принадлежит прямой $M'N'$, а значит, и плоскости основания $(ABC)$. Следовательно, $P_1$ — это общая точка двух плоскостей, то есть точка на их линии пересечения.
3. Аналогично рассмотрим прямые $NK$ и $N'K'$. Они лежат в одной плоскости (проходящей через параллельные прямые $NN'$ и $KK'$). Найдем точку их пересечения $P_2 = NK \cap N'K'$. Точка $P_2$ также принадлежит и секущей плоскости $(MNK)$, и плоскости основания $(ABC)$.
4. Прямая, проходящая через точки $P_1$ и $P_2$, является линией пересечения плоскостей $(MNK)$ и $(ABC)$. Обозначим эту прямую $l$.

Ответ: Построена прямая $l = P_1P_2$ — след секущей плоскости $(MNK)$ на плоскости основания $(ABC)$.

2. Построение вершин многоугольника сечения

Вершины искомого сечения — это точки, в которых секущая плоскость пересекает ребра призмы. Для их нахождения будем последовательно строить линии пересечения секущей плоскости с гранями призмы.

1. Начнем с грани $BB_1C_1C$. Секущая плоскость пересекает эту грань по прямой. Одна точка этой прямой нам известна — это точка $K$. Другую точку найдем, используя след $l$. Прямая $BC$ лежит и в плоскости основания, и в плоскости грани $BB_1C_1C$. Поэтому точка пересечения следа $l$ с прямой $BC$ будет принадлежать искомой линии сечения на грани. Обозначим $T_1 = l \cap BC$.
2. Проводим в плоскости грани $BB_1C_1C$ прямую через точки $K$ и $T_1$. Эта прямая пересекает ребра призмы, принадлежащие этой грани. Пусть $S_1 = KT_1 \cap BB_1$ и $S_2 = KT_1 \cap CC_1$. Точки $S_1$ и $S_2$ являются вершинами искомого сечения.
3. Перейдем к смежной грани $AA_1B_1B$. На этой грани лежит заданная точка $N$ и уже найденная вершина сечения $S_1$ (так как $S_1 \in BB_1$). Прямая, проходящая через точки $N$ и $S_1$, является линией пересечения секущей плоскости с гранью $AA_1B_1B$.
4. Найдем точку пересечения прямой $NS_1$ с ребром $AA_1$. Обозначим эту точку $S_3 = NS_1 \cap AA_1$. Точка $S_3$ — еще одна вершина сечения.
5. Для проверки правильности построений можно рассмотреть грань $AA_1C_1C$. На ней лежат точка $M$, а также найденные вершины $S_2$ (на $CC_1$) и $S_3$ (на $AA_1$). Все эти три точки должны лежать на одной прямой, так как все они принадлежат пересечению плоскости $(MNK)$ с плоскостью грани $(AA_1C_1C)$.

Ответ: Построены вершины сечения $S_1$, $S_2$, $S_3$, лежащие на боковых ребрах $BB_1$, $CC_1$ и $AA_1$ соответственно.

3. Построение искомого сечения

Соединив последовательно найденные вершины, мы получим многоугольник, который является искомым сечением призмы.

1. Соединяем отрезком точки $S_1$ и $S_2$. Этот отрезок лежит в грани $BB_1C_1C$.
2. Соединяем отрезком точки $S_2$ и $S_3$. Этот отрезок лежит в грани $AA_1C_1C$.
3. Соединяем отрезком точки $S_3$ и $S_1$. Этот отрезок лежит в грани $AA_1B_1B$.

В результате построения получается треугольник $S_1S_2S_3$. Этот треугольник и является искомым сечением призмы плоскостью $MNK$. В зависимости от конкретного расположения исходных точек $M, N, K$, сечение может также оказаться четырехугольником или пятиугольником, если секущая плоскость пересечет ребра оснований призмы. Описанный алгоритм является общим и позволяет построить сечение в любом из этих случаев.

Ответ: Искомое сечение — многоугольник, вершинами которого являются точки пересечения плоскости $(MNK)$ с ребрами призмы (в рассмотренном примере — треугольник $S_1S_2S_3$).