Номер 41, страница 50 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Параллельность прямой и плоскости. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 41, страница 50.

Условие.

5.41. Боковые стороны прямоугольной трапеции относятся как 3 : 5, а разность оснований равна 16 см. Найдите площадь трапеции, если её меньшая диагональ равна 13 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, а $AB$ — боковая сторона, перпендикулярная основаниям (высота). Тогда $CD$ — вторая (наклонная) боковая сторона. $AC$ и $BD$ — диагонали.

По условию, боковые стороны относятся как $3:5$. Так как высота в прямоугольной трапеции является одной из боковых сторон и она меньше наклонной боковой стороны, то $AB : CD = 3 : 5$.
Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$, тогда высота $h = AB = 3x$, а боковая сторона $CD = 5x$.

Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. Получим прямоугольник $ABCH$ и прямоугольный треугольник $CHD$.
В прямоугольнике $ABCH$ сторона $CH = AB = 3x$.
В прямоугольном треугольнике $CHD$ катет $HD$ равен разности оснований: $HD = AD - AH = AD - BC$. По условию, разность оснований равна 16 см, значит $HD = 16$ см.

Применим теорему Пифагора для треугольника $CHD$:
$CH^2 + HD^2 = CD^2$
$(3x)^2 + 16^2 = (5x)^2$
$9x^2 + 256 = 25x^2$
$16x^2 = 256$
$x^2 = \frac{256}{16} = 16$
$x = 4$ (так как длина стороны не может быть отрицательной).

Теперь найдем высоту трапеции:
$h = AB = 3x = 3 \cdot 4 = 12$ см.

В прямоугольной трапеции меньшая диагональ ($AC$) соединяет вершину прямого угла с вершиной тупого угла, а большая ($BD$) — вершину прямого угла с вершиной острого угла. По условию, меньшая диагональ равна 13 см, то есть $AC = 13$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ (угол $B = 90^\circ$). Его катеты — это высота $AB$ и меньшее основание $BC$, а гипотенуза — диагональ $AC$.
По теореме Пифагора:
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
$12^2 + BC^2 = 13^2$
$144 + BC^2 = 169$
$BC^2 = 169 - 144 = 25$
$BC = 5$ см.

Мы знаем, что разность оснований $AD - BC = 16$ см. Найдем большее основание $AD$:
$AD = BC + 16 = 5 + 16 = 21$ см.

Теперь мы можем найти площадь трапеции по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота.
$S = \frac{BC+AD}{2} \cdot AB = \frac{5+21}{2} \cdot 12 = \frac{26}{2} \cdot 12 = 13 \cdot 12 = 156$ см².

Ответ: 156 см².