Номер 2, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Параллельность плоскостей. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 2, страница 55.

Условие.

6.2. Параллелограммы $ABCD$ и $AEFD$ не лежат в одной плоскости (рис. 6.11). Докажите, что плоскости $ABE$ и $DCF$ параллельны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства параллельности плоскостей $ABE$ и $DCF$ воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей. Согласно этому признаку, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

1. Рассмотрим плоскость $ABE$. Она задается двумя пересекающимися прямыми $AB$ и $AE$. Точка их пересечения — $A$.

2. Рассмотрим плоскость $DCF$. Она задается двумя пересекающимися прямыми $DC$ и $DF$. Точка их пересечения — $D$.

3. По условию задачи, $ABCD$ является параллелограммом. По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны. Следовательно, прямая $AB$ параллельна прямой $DC$ ($AB \parallel DC$).

4. Также по условию, $AEFD$ является параллелограммом. Следовательно, его противоположные стороны также параллельны, то есть прямая $AE$ параллельна прямой $DF$ ($AE \parallel DF$).

5. Таким образом, мы имеем, что две пересекающиеся прямые $AB$ и $AE$ в плоскости $ABE$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым $DC$ и $DF$ в плоскости $DCF$.

На основании признака параллельности плоскостей, делаем вывод, что плоскость $ABE$ параллельна плоскости $DCF$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что плоскости $ABE$ и $DCF$ параллельны.