Номер 5, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Параллельность плоскостей. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 5, страница 55.

Условие.

6.5. Две диагонали правильного шестиугольника параллельны плоскости $\alpha$. Можно ли утверждать, что плоскость данного шестиугольника параллельна плоскости $\alpha$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Утверждать, что плоскость данного шестиугольника параллельна плоскости $α$, в общем случае нельзя. Для доказательства этого рассмотрим все возможные варианты расположения двух диагоналей.

Согласно признаку параллельности двух плоскостей, если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости (назовем ее $β$), соответственно параллельны другой плоскости (плоскости $α$), то эти плоскости параллельны ($β \parallel α$).

Ключевым моментом в этом признаке является то, что прямые должны быть пересекающимися. В правильном шестиугольнике существуют как пересекающиеся, так и параллельные диагонали.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Выбранные диагонали пересекаются.
Пусть дан правильный шестиугольник $ABCDEF$, лежащий в плоскости $β$. Возьмем две пересекающиеся диагонали, например, $AD$ и $BE$. По условию, $AD \parallel α$ и $BE \parallel α$. Так как диагонали $AD$ и $BE$ лежат в плоскости $β$ и пересекаются (в центре шестиугольника), то по признаку параллельности плоскостей, плоскость $β$ параллельна плоскости $α$. В этом случае утверждение было бы верным.

2. Выбранные диагонали параллельны.
В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ есть пары параллельных диагоналей. Например, диагональ $AC$ параллельна диагонали $FD$.
Предположим, что именно эти две диагонали параллельны плоскости $α$, то есть $AC \parallel α$ и $FD \parallel α$.
В этом случае мы не можем применить признак параллельности плоскостей, так как прямые $AC$ и $FD$ не пересекаются.

Можно построить контрпример. Пусть плоскость шестиугольника $β$ пересекает плоскость $α$ по некоторой прямой $l$. Расположим шестиугольник $ABCDEF$ в плоскости $β$ таким образом, чтобы его параллельные диагонали $AC$ и $FD$ были параллельны линии пересечения $l$.
Так как $AC \parallel l$ и $l \subset α$, то $AC \parallel α$.
Аналогично, так как $FD \parallel l$ и $l \subset α$, то $FD \parallel α$.
Таким образом, мы получили ситуацию, когда две диагонали ($AC$ и $FD$) правильного шестиугольника параллельны плоскости $α$, но плоскость шестиугольника $β$ не параллельна плоскости $α$, а пересекает ее.

Поскольку существует хотя бы один случай, когда условие задачи выполняется, а вывод о параллельности плоскостей неверен, общее утверждение сделать нельзя.

Ответ: нет, нельзя.