Номер 11, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Параллельность плоскостей. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 11, страница 56.

Условие.

6.11. Даны параллельные плоскости $α$ и $β$. Точки M и N лежат в плоскости $α$, точки K и P – в плоскости $β$ (рис. 6.13). Постройте линию пересечения:

1) плоскости $α$ и плоскости MKP;

2) плоскости $β$ и плоскости MNK.

Рис. 6.12

Рис. 6.13

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) плоскости α и плоскости MKP;

Чтобы найти линию пересечения двух плоскостей, нужно найти прямую, которая принадлежит обеим этим плоскостям.

1. Точка $M$ принадлежит плоскости $\alpha$ по условию. Точка $M$ также принадлежит плоскости $MKP$ по определению (так как плоскость $MKP$ проходит через точки $M$, $K$ и $P$). Следовательно, точка $M$ лежит на искомой линии пересечения.

2. Известно, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($ \alpha \parallel \beta $). Если третья плоскость ($MKP$) пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны.

3. Найдем линию пересечения плоскости $MKP$ и плоскости $\beta$. Точки $K$ и $P$ по условию лежат в плоскости $\beta$. Они также лежат в плоскости $MKP$ по определению. Следовательно, прямая $KP$ является линией пересечения плоскости $MKP$ и плоскости $\beta$.

4. Согласно свойству, упомянутому в пункте 2, линия пересечения плоскости $MKP$ и плоскости $\alpha$ должна быть параллельна линии пересечения плоскости $MKP$ и плоскости $\beta$, то есть прямой $KP$.

5. Таким образом, искомая линия пересечения проходит через точку $M$ (пункт 1) и параллельна прямой $KP$ (пункт 4).

Построение: В плоскости $\beta$ проводим прямую $KP$. Затем в плоскости $\alpha$ через точку $M$ проводим прямую, параллельную прямой $KP$. Эта прямая и является искомой линией пересечения.

Ответ: Линия пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости $MKP$ — это прямая, проходящая через точку $M$ параллельно прямой $KP$.

2) плоскости β и плоскости MNK.

Решение аналогично первому пункту.

1. Точка $K$ принадлежит плоскости $\beta$ по условию. Точка $K$ также принадлежит плоскости $MNK$ по определению. Следовательно, точка $K$ лежит на искомой линии пересечения.

2. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($ \alpha \parallel \beta $). Плоскость $MNK$ пересекает эти две параллельные плоскости, значит, линии их пересечения будут параллельны.

3. Найдем линию пересечения плоскости $MNK$ и плоскости $\alpha$. Точки $M$ и $N$ по условию лежат в плоскости $\alpha$. Они также лежат в плоскости $MNK$ по определению. Следовательно, прямая $MN$ является линией пересечения плоскости $MNK$ и плоскости $\alpha$.

4. Согласно свойству параллельных плоскостей, линия пересечения плоскости $MNK$ и плоскости $\beta$ должна быть параллельна прямой $MN$.

5. Таким образом, искомая линия пересечения проходит через точку $K$ (пункт 1) и параллельна прямой $MN$ (пункт 4).

Построение: В плоскости $\alpha$ проводим прямую $MN$. Затем в плоскости $\beta$ через точку $K$ проводим прямую, параллельную прямой $MN$. Эта прямая и является искомой линией пересечения.

Ответ: Линия пересечения плоскости $\beta$ и плоскости $MNK$ — это прямая, проходящая через точку $K$ параллельно прямой $MN$.