Номер 13, страница 56 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Параллельность плоскостей. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 13, страница 56.

Условие.

6.13. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. Точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $\alpha$, точки $C$ и $D$ – в плоскости $\beta$. Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

1) Докажите, что $\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}$.

2) Найдите отрезок $AB$, если $CD = 32$ см, $AC : AO = 7 : 3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Докажите, что $\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}$

Так как отрезки AC и BD пересекаются в точке O, они определяют единственную плоскость, назовем ее γ. Все четыре точки A, B, C, D лежат в этой плоскости.

По условию, плоскости α и β параллельны (α ∥ β). Плоскость γ является секущей для этих двух параллельных плоскостей.

Согласно теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей, линии их пересечения параллельны.

• Линией пересечения плоскости γ и плоскости α является прямая AB (поскольку точки A и B принадлежат обеим плоскостям).
• Линией пересечения плоскости γ и плоскости β является прямая CD (поскольку точки C и D принадлежат обеим плоскостям).

Следовательно, прямые AB и CD параллельны (AB ∥ CD).

Теперь рассмотрим треугольники ▵AOB и ▵COD.

• ∠AOB = ∠COD, так как они являются вертикальными углами.
• ∠OAB = ∠OCD, так как они являются накрест лежащими углами при параллельных прямых AB и CD и секущей AC.

Таким образом, треугольник ▵AOB подобен треугольнику ▵COD по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон: $$\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{CD}$$ Из этого соотношения, в частности, следует, что $\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Найдите отрезок AB, если $CD = 32$ см, $AC : AO = 7 : 3$

Из подобия треугольников ▵AOB и ▵COD, установленного в пункте 1, мы имеем соотношение: $$\frac{AB}{CD} = \frac{AO}{OC}$$

По условию дано, что $AC : AO = 7 : 3$. Это значит, что мы можем принять длину отрезка AO за $3x$, а длину отрезка AC за $7x$, где x — некоторый коэффициент пропорциональности.

Точка O лежит на отрезке AC, следовательно, $AC = AO + OC$. Мы можем выразить длину отрезка OC: $$OC = AC - AO = 7x - 3x = 4x$$

Теперь мы можем найти искомое отношение сторон для нашей пропорции: $$\frac{AO}{OC} = \frac{3x}{4x} = \frac{3}{4}$$

Подставим известные значения в пропорцию. Нам дано, что $CD = 32$ см. $$\frac{AB}{32} = \frac{3}{4}$$

Выразим из этого уравнения длину отрезка AB: $$AB = 32 \cdot \frac{3}{4} = \frac{96}{4} = 24$$

Ответ: 24 см.