Номер 20, страница 57 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Параллельность плоскостей. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 20, страница 57.

Условие.

6.20. Точка $M$ принадлежит ребру $A_1D_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Постройте линию пересечения плоскостей $BDD_1$ и $CC_1M$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо найти две общие точки, принадлежащие обеим плоскостям. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет искомой линией пересечения.

Нам даны две плоскости: плоскость диагонального сечения куба $(BDD_1)$ и плоскость $(CC_1M)$.

1. Нахождение первой общей точки.

   Рассмотрим верхнюю грань куба – плоскость $(A_1B_1C_1D_1)$.

   Плоскости $(BDD_1)$ принадлежит прямая $B_1D_1$, так как точки $B_1$ и $D_1$ лежат в этой плоскости.

   Плоскости $(CC_1M)$ принадлежит прямая $C_1M$, так как точки $C_1$ и $M$ лежат в этой плоскости (по условию $M \in A_1D_1$, значит $M$ лежит в плоскости верхней грани).

   Прямые $B_1D_1$ и $C_1M$ обе лежат в плоскости верхней грани $(A_1B_1C_1D_1)$. Они не параллельны (так как $M$ не является точкой $A_1$, в противном случае диагонали квадрата $A_1C_1$ и $B_1D_1$ пересекались бы), следовательно, они пересекаются. Обозначим их точку пересечения буквой $K$.

   $K = C_1M \cap B_1D_1$

   Поскольку точка $K$ лежит на прямой $B_1D_1$, она принадлежит плоскости $(BDD_1)$.

   Поскольку точка $K$ лежит на прямой $C_1M$, она принадлежит плоскости $(CC_1M)$.

   Следовательно, $K$ – первая общая точка двух плоскостей.

2. Нахождение второй общей точки.

   Рассмотрим нижнюю грань куба – плоскость $(ABCD)$.

   Плоскости $(BDD_1)$ принадлежит прямая $BD$, диагональ основания.

   Теперь найдем след (линию пересечения) плоскости $(CC_1M)$ с плоскостью нижнего основания $(ABCD)$. Точка $C$ уже принадлежит этому следу, так как $C \in (CC_1M)$ и $C \in (ABCD)$.

   Чтобы найти вторую точку для построения следа, найдем точку пересечения прямой $CM$ с плоскостью $(BDD_1)$. Это может быть сложно. Вместо этого, воспользуемся другим методом.

   Так как боковые грани $(ADD_1A_1)$ и $(BCC_1B_1)$ параллельны, то плоскость $(CC_1M)$ не может быть параллельна плоскости $(BDD_1)$.

   Давайте найдем пересечение прямой, лежащей в плоскости $(CC_1M)$, с плоскостью $(ABCD)$. Возьмем прямую $C_1M$. Эта прямая не параллельна плоскости $(ABCD)$, значит, она ее пересекает.

   Чтобы найти точку пересечения прямой $C_1M$ с плоскостью $(ABCD)$, рассмотрим вспомогательную плоскость $(A_1D_1DA)$. Прямая $C_1M$ не лежит в этой плоскости. Продолжим прямую $A_1D_1$ и прямую $B_1C_1$. Их пересечения нет, они параллельны.

   Рассмотрим другой подход. Плоскость $(CC_1M)$ пересекает параллельные плоскости $(ADD_1A_1)$ и $(BCC_1B_1)$. Линия пересечения с $(BCC_1B_1)$ — это прямая $CC_1$. Следовательно, линия пересечения с плоскостью $(ADD_1A_1)$ будет прямой, проходящей через точку $M$ и параллельной $CC_1$. Проведем прямую $MN$ параллельно $CC_1$ (а значит и $AA_1$), где $N$ — точка на ребре $AD$.

   Таким образом, плоскость $(CC_1M)$ — это та же плоскость, что и $(CC_1MN)$.

   Теперь мы можем найти след плоскости $(CC_1MN)$ на плоскости основания $(ABCD)$. Этот след проходит через точки $C$ и $N$. Это прямая $CN$.

   В плоскости основания $(ABCD)$ лежат две прямые: $BD$ (принадлежит плоскости $(BDD_1)$) и $CN$ (принадлежит плоскости $(CC_1M)$). Эти прямые не параллельны, значит, они пересекаются. Обозначим их точку пересечения буквой $O$.

   $O = CN \cap BD$

   Поскольку точка $O$ лежит на прямой $BD$, она принадлежит плоскости $(BDD_1)$.

   Поскольку точка $O$ лежит на прямой $CN$, она принадлежит плоскости $(CC_1M)$.

   Следовательно, $O$ – вторая общая точка двух плоскостей.

3. Построение линии пересечения.

   Мы нашли две общие точки $K$ и $O$ для плоскостей $(BDD_1)$ и $(CC_1M)$. Соединив эти две точки, мы получим искомую линию пересечения.

Ответ: Искомая линия пересечения – это прямая $KO$, где $K$ – точка пересечения прямых $C_1M$ и $B_1D_1$ в плоскости верхней грани, а $O$ – точка пересечения прямых $CN$ и $BD$ в плоскости нижней грани, причем $N$ – такая точка на ребре $AD$, что $MN \parallel CC_1$.