Номер 25, страница 58 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Параллельность плоскостей. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 25, страница 58.

Условие.

6.25. Докажите, что через две скрещивающиеся прямые проходит единственная пара параллельных плоскостей.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть даны две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$. Доказательство состоит из двух частей: доказательства существования такой пары плоскостей и доказательства ее единственности.

Доказательство существования

1. Выберем на прямой $a$ произвольную точку $M$. Через точку $M$ проведем прямую $b'$, параллельную прямой $b$. Так как прямые $a$ и $b$ скрещиваются, то прямая $a$ и построенная прямая $b'$ не параллельны, а пересекаются в точке $M$.

2. Через две пересекающиеся прямые $a$ и $b'$ проходит единственная плоскость. Обозначим эту плоскость $\alpha$. По построению, прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$). Так как прямая $b'$ также лежит в плоскости $\alpha$ и $b' \parallel b$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$ ($b \parallel \alpha$).

3. Аналогично, выберем на прямой $b$ произвольную точку $N$. Через точку $N$ проведем прямую $a'$, параллельную прямой $a$. Прямые $b$ и $a'$ пересекаются в точке $N$.

4. Через пересекающиеся прямые $b$ и $a'$ проходит единственная плоскость $\beta$. По построению, прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$ ($b \subset \beta$). Так как $a' \subset \beta$ и $a' \parallel a$, то прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$ ($a \parallel \beta$).

5. Докажем, что построенные плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. Плоскость $\alpha$ определяется пересекающимися прямыми $a$ и $b'$. Плоскость $\beta$ определяется пересекающимися прямыми $b$ и $a'$. По построению имеем $a \parallel a'$ и $b' \parallel b$. Согласно признаку параллельности плоскостей, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны. Следовательно, $\alpha \parallel \beta$.

Таким образом, мы построили пару параллельных плоскостей $\alpha$ и $\beta$, таких, что $a \subset \alpha$ и $b \subset \beta$. Существование доказано.

Доказательство единственности

Предположим, что существует другая пара параллельных плоскостей, $\gamma$ и $\delta$, такая, что $a \subset \gamma$, $b \subset \delta$ и $\gamma \parallel \delta$.

1. Так как $a \subset \gamma$ и $\gamma \parallel \delta$, то из этого следует, что прямая $a$ параллельна плоскости $\delta$ ($a \parallel \delta$). Значит, плоскость $\delta$ проходит через прямую $b$ и параллельна прямой $a$.

2. Плоскость, проходящая через данную прямую ($b$) и параллельная другой скрещивающейся с ней прямой ($a$), единственна. Действительно, такая плоскость определяется прямой $b$ и прямой $a'$, проведенной через любую точку прямой $b$ параллельно прямой $a$. Так как через точку можно провести только одну прямую, параллельную данной, то прямая $a'$ определяется однозначно, а значит, и плоскость, содержащая $b$ и $a'$, тоже единственна.

3. Так как плоскость $\delta$ проходит через прямую $b$ и параллельна прямой $a$, и построенная нами в первой части плоскость $\beta$ также удовлетворяет этим условиям, то $\delta$ должна совпадать с $\beta$. То есть $\delta = \beta$.

4. Аналогично, так как $b \subset \delta$ и $\gamma \parallel \delta$, то прямая $b$ параллельна плоскости $\gamma$ ($b \parallel \gamma$). Значит, плоскость $\gamma$ проходит через прямую $a$ и параллельна прямой $b$. По той же причине единственности, плоскость $\gamma$ должна совпадать с плоскостью $\alpha$, построенной в первой части. То есть $\gamma = \alpha$.

5. Таким образом, любая пара параллельных плоскостей, проходящих через данные скрещивающиеся прямые, совпадает с построенной нами парой $(\alpha, \beta)$. Следовательно, такая пара плоскостей единственна.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.