Номер 22, страница 57 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 6. Параллельность плоскостей. Глава 2. Параллельность в пространстве - номер 22, страница 57.

Условие.

6.22. Точка $K$ принадлежит грани $BCD$ тетраэдра $DABC$ (рис. 6.18). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку $K$ параллельно плоскости $ABD$.

Рис. 6.18

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Построение сечения:

Требуется построить сечение тетраэдра $DABC$ плоскостью $\Pi$, проходящей через точку $K$ и параллельной плоскости $ABD$.

По свойству параллельных плоскостей, если плоскость $\Pi$ параллельна плоскости $ABD$, то линии пересечения плоскости $\Pi$ с гранями тетраэдра, содержащими стороны плоскости $ABD$, будут параллельны соответствующим сторонам.

1. Построение первой стороны сечения (в грани $BCD$):
Плоскость $\Pi$ параллельна плоскости $ABD$. Грань $BCD$ пересекает плоскость $ABD$ по прямой $BD$. Следовательно, линия пересечения плоскости $\Pi$ с гранью $BCD$ должна быть параллельна $BD$.
Через точку $K$, лежащую в грани $BCD$, проведем прямую, параллельную ребру $BD$. Эта прямая пересечет ребро $BC$ в точке $M$ и ребро $CD$ в точке $L$.
Отрезок $ML$ — первая сторона искомого сечения.

2. Построение второй стороны сечения (в грани $ABC$):
Плоскость $\Pi$ параллельна плоскости $ABD$. Грань $ABC$ пересекает плоскость $ABD$ по прямой $AB$. Следовательно, линия пересечения плоскости $\Pi$ с гранью $ABC$ должна быть параллельна $AB$.
Через точку $M$ (которая принадлежит грани $ABC$) проведем прямую, параллельную ребру $AB$. Эта прямая пересечет ребро $AC$ в точке $N$.
Отрезок $MN$ — вторая сторона искомого сечения.

3. Построение третьей стороны сечения (в грани $ACD$):
Плоскость $\Pi$ параллельна плоскости $ABD$. Грань $ACD$ пересекает плоскость $ABD$ по прямой $AD$. Следовательно, линия пересечения плоскости $\Pi$ с гранью $ACD$ должна быть параллельна $AD$.
Через точку $L$ (которая принадлежит грани $ACD$) проведем прямую, параллельную ребру $AD$. Эта прямая должна пересечь ребро $AC$ в точке $N'$ (которая, по определению плоскости сечения, должна совпадать с уже найденной точкой $N$).
Отрезок $LN$ — третья сторона искомого сечения.

Таким образом, построенное сечение является треугольником $LMN$.

Ответ: Искомое сечение — треугольник $LMN$, где $M$ лежит на $BC$, $L$ на $CD$, $N$ на $AC$, причем $ML \parallel BD$, $MN \parallel AB$, $LN \parallel AD$.